Реферат: Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета

Критерий совместности (теорема Кронеккера-Капелли) . Система Ax = b линейных уравнений является совместной Ûранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы , т.е . r (A ) = r (A ½b ).

Критерий определенности . Система Ax = b линейных уравнений от n переменных является определенной Ûранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу переменных в системе , т.е . r (A ) = r (A ½b ) = n .

3⁰ . Связь между решениями совместной неоднородной и связанной с ней однородной системами линейных уравнений .

Допустим, что дана совместная системалинейных уравнений:

Ax = b .

(1)

Пусть z ₀ ,z ₁ ,z ₂ - частные решения системы (1),z - ее общее решение. Тогда справедливы равенства A z ₁ ^t = b , A z ₂ ^t = b . Вычитая почленно из первого второе, на основании известных свойств, получаем: 0 = A z ₁ ^t - A z ₂ ^t = A (z ₁ ^t - z ₂ ^t ) = A (z ₁ - z ₂ )^t , т.е. разность между двумя частными решения системы (1) является решением связанной с ней однородной системы

Ax = 0.

(2)

Если теперьx - общее решение системы (2), то имеем A x ^t = 0, следовательно,

b = b + 0 = A z ₀ ^t + A x ^t = A (z ₀ ^t + x ^t ) = A (z ₀ + x )^t ,

т.е. сумма частного решения системы (1) и общего решения системы (2) является решением системы (1).

Таким образом, справедлива

Теорема . Общее решение совместной неоднородной системы (1) является суммой частного решения системы (1) и общего решения системы (2).

Поскольку общее решение однородной системы может быть записано в виде линейной комбинации ФСР, то получаем, что общее решение системы (1) можно записать в следующей параметрической форме:

z = z ₀ + a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + . . . + a _m x _m ,

где z ₀ - какое-нибудь частное решение системы (1); x ₁ , x ₂ , . . . , x _m - ФСР системы (2),

a ₁ , a ₂ , . . . , a _m - действительные параметры; m = n - r (A ).

8. Корни многочлена; схема Горнера; теорема Безу

1⁰ . Корни многочлена.

Определение. Число c называется корнем многочлена f , если f (c )=0.

Другими словами, число c является корнем многочлена f , если

a ₀ cⁿ + a ₁ c^{n -1} + ... + a_{n - 1} c + a_n = 0.

Это равенство означает, что число c является корнем уравнения

a ₀ xⁿ + a ₁ x^{n- 1} +