Реферат: Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Отже,

(2.2.4)

Якщо відрізок достатньо великий, то похибка (2.2.4) квадратурної формули трапеції, як правило, велика. Для збільшення точності розділимо відрізок інтегрування на частин точками , тоді

Якщо розбиття рівномірне, тобто , то

Запишемо окремо узагальнену формулу трапеції і окремо її похибку:

(2.2.5)

(2.2.6)

Величина -середнє арифметичне значень другої похідної в точках відрізку . Очевидно, що , де -найменше значення, а -найбільше значення другої похідної , . Оскільки неперервна на , то в якості своїх значень на вона приймає всі проміжні числа між і . Отже, існує така точка , що , тобто

(2.2.7)

На рис (2.6) показано геометричне зображення узагальненої формули трапеції (2.2.5).

Рис.2.6 Геометричне зображення узагальненої формули трапецій

Точне значення інтеграла, тобто ліва частина наближеної рівності (2.2.5) це площа криволінійної трапеції, що обмежена зверху графіком функції . Наближене значення інтеграла (права частина рівності (2.2.5) - це площа фігури, що зверху обмежена ламаною (рис.2.6).

З формули (2.2.7) видно, що чим більшим є число , тим меншою буде похибка квадратурної формули (2.2.5). Крім того, з (2.2.7) видно, що алгебраїчний степінь точності і квадратурної формули трапеції дорівнює одиниці (так же, як і формули центральних прямокутників).

2.3 Метод Симпсона

Якщо в квадратурній формулі Ньютона-Котеса (2.12) взяти то здобудемо таку формулу [1]

(2.3.1)

За формулою (2.11) знаходимо . Врахувавши властивості коефіцієнтів Котеса, знаходимо .

Після підстановок знайдених коефіцієнтів Котеса в формулу (2.3.1), отримуємо квадратурну формулу, яка називається „формулою Симпсона” або „формулою парабол”:

(2.3.2)

Рис.2.7 Геометричне тлумачення „формули парабол"

Назва квадратурної формули (2.3.2) як „формула парабол" випливає з геометричного тлумачення інтеграла, якщо криву замінити параболою, що проходить через три точки (на рис.2.7 парабола показана пунктиром) і наближене значення інтеграла обчислювати як площу криволінійної трапеції, яка зверху обмежена графіком цієї параболи.

Знайдемо залишковий член квадратурної формули Симпсона. Для цього з наближеної рівності (2.3.2) запишемо формулу для похибки

(2.3.3)

Розкладемо функцію у ряд Тейлора в околі точки , припускаючи функцію такою, що розкладання можливе [7]: