Реферат: Шпора по математическому анализу

y(n)+a1(x)y(n-1)+...+an(x)y=f(x); y(x) – решение уравнения (1); u(n)+a1(x)u(n-1)+...+an(x)u=0. U(x) – решение (3). Покаж, что (y(x)+U(x))(n)+a1(x)(u(x)+y(x))(n-1)+...+an(x)(u+y)=f(x)

y(n)+u(n)+...+an(x)y+an(x)u(x)=f(x)+0=f(x).

ч.т.д.

Теорема: if коэф (1) – непрерывны, то решение с нач зад (1) – (2) всегда ют, единственны, и можно считать опр на всём (a;b). Эту теорему называют нелокольной теоремой  и единств реш нач зад.

Связь между ур-ми n-го порядка и системой из n-уравнений 1-го порядка: возьмём уравнение 2-го порядка с непр коэф: y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x). y1(x)=y(x);y2(x)=y’(x); y1’(x)=y’(x)=y2(x); y2’(x)=y’’(x)=f(x)-p(x)y(x)-q(x)y=f(x)-p(x)y2(x)-q(x)y1(x).

Cистема:

y1’=y2;

y2’=-q(x)y1-p(x)y2+f(x)

2)Теорема об общем решении

Пусть y1(x),...,yn(x) (4) – фунд сист решений однор ур-я (3), а z(x) – какое – либо частное решение неодн ур-я (1) имеет след вид: y=c1y1(x)+...+cnyn(x)+z(x) (5), где с1,...,cn – произв пост.

Д-во: Докажем, что (5) всегда даёт решение (1) при c1,...,cn. Вся первая часть (5) – решение (3). Добавл к нему частн реш z(x), получ реш неодн (1). Покаж, что  решение неодн ур-я (1) м.б. записано в виде (5) при нек пост c1,...,cn.

If y(x) – частн решение (1), то y(x)–z(x) – решение однор ур-я (3). По теореме об общем решении в (3) мы можем указать такие c1,...,cn – что y(x)–z(x)=c1y1(x)+...+cnyn(x). Перенося z – вправо, получ (5). Теорема доказана.

Общее решение однородного уравнения есть  общ решения соотв однор ур-я, и какого – либо частн решениия неодн ур-я.

3:)Метод Лагранжа вариации произв пост

Лагранж предложил искать частные решения в виде (5) без z(x), только константы считать ф-ми: y=c1(xz)y1(x)+…+cn(x)yn(x) (6). Если c1,….,cn выбирать так, чтобы вып-сь след усл:

Система: (7)

с1’(x)y(x)+…+cn’(x)yn(x)=0;

……

c1’(x)y(n-2)(x)+…+cn’(x)y(n-2)n(x)=0

c1’(x)y(n-1)(x)+…+cn’(x)y(n-1)n(x)=f(x)

if c1(x),..,cn(x) – удовл усл (7), то (6) даёт решение (1).

Д-во: В этой системе неизв явл c1’,…,cn’

Матрицей (7) явл W(x)<>0(сост матр из игриков) => это система имеет единственное решение. Проверим, что (6) при вып (7) даёт решение (1).

Система:

y(x)=c1(x)y1(x)+…+cn(x)yn(x);

y’(x)=c1(x)y1’(x)+…+cn(x)yn’(x)

….

y(n-1)(x)=c1(x)y1(n-1)(x)+…+cn(x)y(n-2)n(x)

y(n)(x)=f(x)+c1(x)y1(n)(x)+…+cn(x)y(n)n(x)