Реферат: Шпора по математическому анализу

L{y(x)}(=)f(x)+c1(x)L{y1(x)}+…+cn(x)L{yn(x)}, т.к. y1(x),…,yn(x) – обр фунд систему, то (=)f(x) (10)~(1)

4:)Ф-я Коши и её св-ва

Решим систему (7) по правилу Крамера.

ci(x)=(Wi(x)/W(x))f(x) (11), i=1..n; Wi – алгебрарическое дополнение к эл-ту n-ой строки стоящ в i-м столбце. ci(x)= ci+­(x0..x)(Wi(s)/W(s))f(s)ds, i=1,…,n (12). Подставим в (6):

y=(i=1..n)ciyi(x)+(i=1..n)((x0..x)(Wi(s)/W(s))f(s)ds)yi(x)=(i=1..n)ciyi(x)+(x0..x)(i=1..n)(Wi(s)/W(s)f(s))y(x)ds) (13)

K(x)=(i=1..n)(y(x)Wi(s))/W(s) (14); x,s(a;b)

y=(i=1..n)ciyi(x)+(x0..x)K(x,s)f(s)ds (15) – интегральный оператор

Лекция №7

1.Определение  решения.

Предп. что рассматр. нач. задача вида (1)-(2) у=f(x,у)(1) у(х­0­) =у0(2) f(x,у) – непр. по совокупн. решенных предполог., что f(x,у) рассматр. на прямоугольнике D={(х,у): |х-х0|<=а , |у-уо|<=б} M=maх|f(x,у)| удовл. условию Лишица по второй переменной | f(x,у) –f(x,z) |<=L|y-z| (4). При вып. всех этих предпол. нач. зад. (1)-(2) имеет единств. реш-е опр. на отр-ке | х-х0|<=h; h=min{а,б/ М } (5) П. у(х)- кусочно диф-ма фун-я и удовл. след. н-ву: | у(х)-f(x,у(х)) | <=∆ f(x) (6) у(х0)=у0 (7)

Кусочная диф-мость ф-ции означает, что весь пром-к, на котор. ф-я опред. можно разбить на части в котор. ф-я диф-ма в точках разбиения  одностор производные. |у+ --f(x,у(х))|<=∆ f(x)

если известно что, ∆ f(x) <=, то у(х) наз.  решением.

Введем в рассмотрен еще одну ф-ю Z(x) по правилам: |Z(x)-g(x,z(x))|<=∆g(x) (8)

Z(x0)=Z0 (9) Предп. что g(x) непр. в прямоуг. D и кусочно диф-ма предполаг. далее, что | f(x,у)-g(x,y)|<= (10)

Возн. задача: |у(х)-z(x)|<=? Запишем мн-во (6) иначе: у(х)= f(x,у(х))+(х), где |(x)<= f(x)| В этом случ. у- есть реш-е диф. ур-я. (х)- кусочно диф-ая ф-я (и кусочно непр.) Для Z(x) м-нo зап-ть анал. рав-ва Z(x)=g(x,z(x))+(x), |(x)|<=g(x)

В этом случае. z- реш. диф. ур-я (х)- кус. непр. и диф-ма.

Проинтегр. рав-ва у(х) и для z(х) у(х)=y0+(x0,x)∫{f(s,y(s))+(s)}ds (11)

z(x)=z0+(x0,x)∫{g(s,z(s))+(s)}ds (12)

вычтем. почленно из (11)-(12) и оценим разницу по иодулю:

у(х)-z(x)=y0-z0+(x0,x)∫{f(s,y(s))+g(s,z(s))+(s)+(s)}ds (13)

|y(x)-z(x)|<=|y0-z0|+|∫{f(s,y(s))+g(s,z(s))+(s)+(s)}ds|<=|y0-z0|+(x0,x){|f(s,y(s))-g(s,z(s))|+|(s)-(s)|ds

|f(s,y(s))-f(s,(z(s))|<=L|y(s)-z(s)| (14)

|f(s,z(s))-g(s,z(s))|<=

|y(x)-z(x)|<=|y0-z0|+(x0,x)∫L|y(s)-z(s)|+++}ds

|(x)<=; |(x)|<=

П. |y(x)-z(x)|=u(x).Еогда посднее н-во м-но зап-ть в след. виде U(x)<=U(x0)+(x0,x)∫LU(s)+++}ds (15)

Пользуясь леммой о лин. инт. нер-ах м-но вып-ть оценку ф-ции U(x) если ф-ции у(х) и z(x) это точные реш-я, то ,, =0

|y(x)-z(x)|<=L|x-x0|; |y0-z0|+((++)/L)(eL|x-x0|-1)

2 Th единственности и оценка разности решений

|y(x)-z(x)|<= eL|x-x0||y0-z0|, y0=z0 (17)