Реферат: Шпора по математическому анализу

Прич. если нач. усл. совп. то совп. и сами ф-ции.

3 Зависимость от правой части

если у(х) и z(x) это точное реш-е но разных задач, то в этом случае ==0, >0 и м-но оценить разницу между у(х) и z(x)

|y(x)-z(x)|<= eL|x-x0||y0-z0|+(/L)( eL|x-x0|-1) (18)

Н-во (18) зад. зависимость от прав. частей.

4 Оценка разности между  решениями

Если y(x) и z(x) это соотв.  и  реш-я нач. задачи (1)-(2) , то это знач. что гач. усл. совпадают у0=z0, =0, И оценка разности решний приобретает такой вид:

|y(x)-z(x)|<= eL|x-x0||y0-z0|+(/L)( eL|x-x0|-1)=((+ )/L)( eL|x-x0|-1) (19)

если у(х) это точн. реш-е при этом =0 и п. z(x) это  реш-е |y(x)-z(x)|<= (/L)( eL|x-x0|-1) (20)

5 Метод ломаных Эйлера

Метод ломаных- это метод численного интегрир. нач-ой задачи. Для этого весь пр-к опред-я ф-ии по х разб. на части х0 <х1<…<xn (21) Это разб. наз. сеткой, а x0…xn –узлами сетки. Задача закл. в опр-ии значении реш-я ф-ции y(xi)=yi

Разбиение обычно опр-ся равно-мерно: xi+1-xi=h, h=(xn-x0)/n

Идея метода Эйлера состоит в след. :

(y(xi+1)-y(xi))/(xi+1-xi)y(x)= f(x,у(xi))

(y(xi+1)-y(xi))/(xi+1-xi) = f(x,у(xi)) (22)

Тогда значение кажд. след. точки можно переписать через значение пред. точки :

y(xi+1)=y(xi)+f(xi,y(xi))(xi+1-xi) – условие Эйлера

y(x0)=y0 ; y(x1)=y(x0)+f(x0,y­­(x0))(x1-x0)

y(xn)=y(xn-1)+f(xn-1,y­­(xn-1))(xn-xn-1)

Если имеет место равн. разб. отр-ка то послдняя формула имеет вид: yi+1=yi+hf(xi,yr) (24) r=0,1…., n-1

Сеточные ф-ии ставят в соответств. нек. ломанную, это кусочно непр. ф-я

yr(x)=yr+(x-xi)f(xi,уi), xi<=x<=xi+1 (25)

И спр-во утв-е : если >0 то в силу непр. ф-ции f(x,у) :

|f(x,у)- f(x,z)|<= если |x-s|<=, |y-z|<=, ()>0 (непр. по совок. переменных) M=maх|f(x,у)|

Д-во

Из (25) вытекает |y(x)-f(x,у(x))| =|f(xi,уi)-f(xi,уi)+(x-xi)f(xi,уi))|<= (26)

|x-xi|<=; |x-xi||f(xi,уi)|<=M

При достаточно малом шаге ломаная Эйлера становится  решением

6 Оценка погрешности метода ломаных Эйлера

Предп. что f(x,у) удовл. усл. Лищица по кажд. переменной

т.е. разница : |f(x,у) –f(s,z)|<=k|x-s|+L|y-z| (27)