Реферат: Шпора по математическому анализу

Введём в рассмотрение прямоуг. D+=(x,y): x0<=x<=x0+a, |y-y0|<=b} (1) и рассмотрим на этом прямоуг. ф-ю f(x,y), непр. по совок. перем. удовл усл Липшица по второй перем. По Т. Коши-Липшица  начальная задача y’=f(x,y) x0<=x<=x0+a (2) имеет ед реш на [x0,x0+a].

Т. Чаплыгина: Пусть дифференциал ф-ии U(x): U’(x)<=f(x, U(x)) x0<=x<=x0+a (3) U(x0)<=y0 (4). Пусть ф-я V(x) явл решением нач задачи V(x): V’(x)=f(x,V’(x)), x0<=x<=x0+a (5), V(x0)=y0 (6), тогда U(x)<=V(x), x0<=x<=x0+a. Здест ф-я f(x,y) опр в прямоуг. D+ и обладает всеми перечисленными выше свойствами.

Д-во: предп сначала, что вып строгое н-во: U’(x)<f(x,U(x)), x0<=x<=x0+a. U(x0)<y0=V(x0) => U(x0)<V(x0). Посл н-во по непр-ти вып в нек правой полуокрестности т х0, т.е. на x0<=x=x0+a(надо пок-ть, что U(x)<V(x).

Предп. противное. Тогда  x1, такая, что U(x1)>=V(x1). Таким образом между х0 и х1  такие х, в кот U и V совпадают. Обозн кажд из этих точек через х*: U(x*)=V(x*). Ограничимся рассмотрением инт x0<=x=x*. Имеем:

_ U(x)<V(x)

U(x*)=V(x*)

Получ:

U(x)-U(x*)<V(x)-V(x*) |:(x-x*)

(U(x)-U(x*))/(x-x*)>(V(x)-V(x*))/(x-x*)

и перейд к lim при xx*

U’(x*)>V’(x*) (*)

V’(x*)=f(x*,U(x*))=f(x*,U(x*))>U’(x)

V’(x*)>U(x*) (**)

Н-ва (*) и (**) противоречат друг другу, что и доказывает строгое н-во U(x)<V(x) x0<=x<=x0+a. Предположения U’(x)<=f(x,U(x)), U(x)<=V(x) опр на прямоугольнике D+ ф-ю g(x,y) по след правилу: g(x,y)=f(x,y), if y>=U(x), и g(x,y)=f(x,U(x)),ф if y<U(x). g(x,y) непр по совок перем и удовл усл Липшица по 2-й перем, с той-же пост, что и f(x,y). Введём в рассмотрение ф-ю W(z), как реш нач зад W’(x)=g(x,W(x)), x0<=x=x0+a (7).W(x0)=y0 (8). Ф-я V(x)  и опр-ся единственным образом. Н-но пок-ть, что U(x)<=W(x), x0<=x=x0+a (9). U(x0)<=y0<=V(x0). Предп, что (9) не вып-ся на всём [x0, x0+a], т.е. х1, для кот U(x1)>W(x1) между х0 и х1, х* в котор U(x*)<W(x*). Ограничимся теперь рассмотрением отрезка [x*, x1] на этом отрезке. W(x)<U(x). Введём в рассморение ф-ю (х)=U(x)-W(x)>0, x(x*,x1]. ’(x)=U’(x)-W’(x)<=f(x,U(x))-g(x,W(x))=f(x,U(x))-f(x,U(x))=0. Т.о. ’(x)<=0 => ф-я (х) невозр, поэтому (x)<=0. Получили против. Знач верно (9). Ф-я g(x,W(x)) при условии W(x)<U(x)) совпадает по построению с f(x,W(x)). Поэтому W’(x)=f(x,W(x)) (10).

W(x0)=y0 (11). По теореме Коши – Липшица ф-ии W(x) и V(x) совпадают на x0<=x<=x0+a => U(x)<=V(x). Теоремка док-на!!!

2:) Лемма о линейных дифференциальных нерав-ах.

 a(x) и b(x) непр и опр на x0<=x<=x0+a. Пусть диффер ф-я U(x) удовл н-ву: U’(x)<=a(x)U(x)+b(x) (12), U(x0)<=y0 (13). Тогда справедлива оценка:

U(x)<=y0e(x0..x)a(V)dV+(x0..x)e(s..x)a()d*b(s)ds (14)

Д-во: Определим ф-ю f(x,y)<=a(x)y+b(x). Эта ф-я непрерывна и удовл условию Липшица по 2-й переменной: f(x,y)/y=a(x), |a(x)|<=L, т.к. a(x)-непр. Обозн через G(x) реш нач зад, V’(x)=a(x)V(x)+b(x), x0<=x<=x0+a (15), V(x0)=y0 (16), в этом случ вып-ны все усл теор Чаплыгина о диф нер-ах, поэтому: U(x)<=V(x) на [x0;x0+a], и тем самым н-во (14) д-но. Предп теперь, что a(x)<=a, b(x)<=b. Н-во прин вид: U’(x)<=aU(x)+b (17). U(x0)<=y0 (18) и для U(x) справ-ва оценка: U(x)<=y0*ea(x-x0)+b/a*(ea(x-x0)-1) (19)

3:) Т. Райда об интегральных неравенствах

Предп, что на D+ определена ф-я f(x,y) непр по совок перем, удовл усл Липшица по втор перем, и не возр по 2-й перем, т.е. f(x,u)<=f(x,V), if U<=V. Пусть непр ф-я U(x) удовл инт н-ву: U(x)<=y0+(x0..x)f(s,U(s))ds (20), x0<=x<=x0+a. Пусть непр ф-я V(x) явл реш V(x)=y0+(x0..x)f(s,V(s))ds (21), V(x0)=y0 (22), тогда ф-я U(x)<=V(x), x0<=x<=x0+a.

Д-во: Обозначим через W(x) правую чать неравенства (20). W(x)=y0+(x0..x)f(s,U(s))ds, => U(x)<=W(x). Т.к. U(x) явл решением (21), то она удовл диф ур-ю: W(x)=f(x,U(x)), т.к. U(x)<=W(x), и ф-я f не возр по втор перем: V’(x)<=f(x,W(x)), функц W(x) удовл дифуре: W’(x)=f(x,U(x)) – вып все усл теор Чаплыгина о диф нер-ах => V(x)<=W(x) на x0<=x<=x0+a.

Теорема доказана.

4:) Лемма Беллмана о лин. интегр. нер-ах.

Пусть a(x), b(x) непр на [x0;x0+a] и пусть a(x)>=0, и пусть ф-я U(x)<= y0+(x0..x)f(s,U(s))ds (23), тогда спр-во и др н-во:

U(s)<=y0e(x0..x)a()d+(x0..x)e(s..x)a()d*b(s)ds (24)

Д-во: определим функцию f(x,y)a(x)y+b(x). Она непр и удовл усл Липш и невозр по втор перем. f(x,y)/ya(x)>=0. Опр ф-ю, как реш ур-я V(x)=y0+(x0..x)(a(s)V(s)+b(s))ds (25), V(x0)=y0. По теореме Райда, U(x)<=V(x), и V’(x)=a(x)V(x)+b(x) (26), V(x0)=y0 (27). Решение нач зад (26)-(27) определяется ф-ой V(x)=x0*e(x0..x)a()d+(x0..x)e(s..x)a()d*b(s)ds, что и доказ лемму.

Если a(x)<=a>=0, b(x)<=b, тогда U(x)<=y0+(x0..x)(aU(s)+b)ds (29) и спр оценка сверху U(x)<=y*ea(x-x0)+b/a*(ea(x-x0)-1) (30)

11. Линейные однородные диф. ур-я n-го порядка с пост коэф(случ прост корней).

1)Хар мн-н и мет Эйлера

2)Комплексная теорема об общем решении

3)Выделение вещественного решения из комплексного

4)Вещ теор об общ реш.

1:) Хар мн-н и мет Эйлера