Реферат: Шпора по математическому анализу

*д.у. 1-го пор. разрешенное относит.произв. имеет след. вид y’=f(x,y) (*), где y’=dy/dx dy/dx=f(x,y) y’=dy/dt

*реш-е ур-я 1-го пор.всегда зависит от 1-ой произв. постоянной. Ур-е n-го порядка зав. от n произв. постоянных.

*для того чтобы найти реш-е ур-я(*) проход. через заранее зад. точку ставят начальное усл-е: y(x0)=y0 (**).

*найти реш-е ур-я (*) удовлет. зад. нач. усл-ю (**) означает решить нач. задачу Коши.

Известно что нек. ф-я y=y(x,c) c=const (***) такая что подходящим выбором с из нее можно получитьлюбое реш-е ур-я (*), тогда ф-я (***) наз. общим реш-м ур-я(*), каждое конкретное реш-е ур-я (*) наз. частным реш-м ур-я (*).

если есть представление (***), то реш-е ур-я (*) задано явно; если f(x,y)=0 неявно и ф-я f(x,y)=0

наз. частным интегралом.

*если удалось найти ф-ю f(x,y,c)=(пуст. мн-во), кот. охватывает все частные интегралы, то она наз. общим интегралом.

*д.у. и ф-я зад. общий интеграл эквивалентны f(x,y,y’)=0 и Ф(x,y,c)=0.пусть задано семейство линий ур-м Ф(x,y,c)=0 иначе говоря задан общий интеграл. Для того чтобы восстан. д.у. необходимо ф-ю Ф(x,y,c)=0 продиф. по x Ф’x(x,y,c)+ Ф’y(x,y,c)*y’=0 из этого соотношения нужно выразить произв. пост. с, она будет зависеть от x,y и y’ и затем вернуться к F(x,y,y’)=0.

*д.у. y’=f(x,y) определена на пл-ти (x,y) – фазовая пл-ть.

!!!!!!рис.!!!!!!

1.Зафикс. в области определение ф-и f нек. точку с корд. (x,y).

2.Подставим зн-е ф-и f в зад-й точке f(x,y)=y’=tga.

3.y’=tga через (x,y) проводят отрезок единичной ф-и кот образует угол a с положит. напр. оси x.

4.Теоретически эта процедура проводится в каждой точке области определения ф-и f и получают совокупность единичных отрезков. Эта совокупность и задает поле напрвлений.

*геометр. образ реш-й y=w(x) или его график наз. интегр. кривой, а всевозм. инт.кривые задают фазовый портрет.

известен график реш-я д.у. Зафикс. произв. точку и проведем через нее касательную. Касат. обраует угол b с x; tgb а значит  зн-е производной. y’=f(x,y) Т.к. w(x) есть реш-е нашего д.у. то w’(x)=tgb=f(x,w(x))=f(x,y)=tga. Угол a задает наклон поля к точке (x,y).

Особнность: в кажд. т. интегр. кривой касат. и наклон поля совпадают между собой.

*Метод Изоклин:

1.правая часть д.у. приравнивается к постоянной k.

2.задают некот. кол-во зн-й этой пост. k1,k2,…,kn.

3.строят ф-и f(x,y)=ki, i=1..n (ур-е изоклин) кривая – изоклина.

4.по извест. зн-ю ki подсчитывают угол ai кот. задает наклон поля в точках соотв. изоклине.

5.проводят интегр. кривую такую что в точках пересечения ее с изоклиной касательная к ним и наклон поля совпадают между собой.

Лекция №2.

Уравнения с разделяющимися пер-ми.

*пусть ур-е имеет вид y’=f(x) (1) тогда dy/dx=f(x) и предполагая что f(x) определена и непр. на (a,b) можно записать dy=f(x)dx (2), проинтегрируем обе части dy=f(x)dx y=f()d+c (3). Соотнош. (3) задает общ. реш-е ур-я (1) и зависит от одной постоянеой. Иначе общ. реш-е можно запис. в виде

y=(x0,x)f()d+c (4) в этом случае y(x0)=c; в этом случае y(x)=y0+(x0,x)f()d y(x)=y0 (5)

*пусть д.у. имеет вид y’=g(y) (6); ф-я g(y) опр. и непр. в [c,d] предположим что g(y) не обращается в 0; dy/dx=g(y) или dx/dy=1/g(y) (7). В виде (7) ур-е явл. точно таким же ур-е (1) т.е. можно интегрировать: dx=dy/g(y) dx=dy/g(y) x=(y0,y)dy/g(y)+c (8) Представление (7) позволяет сделать x ф-ей y, y-независ. пер.; (8) задает общий интеграл для ур-я (6); x=x0+(y0,y)dy/g(y) y(x0)=y (9); (9) задает частичный интегралдля ур-я (6). Для того чтобы точно проанализировать ур-е (6) выписывают ур-е g(y)=0 (10) теперь можно найти его корни: если y0:g(y0)=0 то ур-е (6) имеет реш-е y=y0. для того чтобы изобразить все интегр. кривые (6) сначала изображают интегр. кривую проход. через т.(x0,y0), остальные получ. сдвигомоси ox, реш-е не выходит из [c,d].