Реферат: Шпора по математическому анализу

Для реш-я (11) нужно разделить пер-е: dy/dx=f(x)g(y) dy/g(y)=f(x)dx dy/g(y)=f(x)dx+c (12). (12) задает общий интеграл для ур-я (11). Если удается отсюда явно выразить y от x, то получаем общ. реш-е. Предположем что y=(x), ее можно представить в (11): y’=f(x)g((x)) g<>0 y’/g((x))=f(x) (13) Домножим обе части (13) на dx и проинтегр. y’dx/g((x))=f(x)dx dy=’(x)dx ’(x)dx/g((x))=dy/g(y) Замена справедлива если (x) не обращается в 0.

Однородные диф. ур-я.

Ур-е 1-го порядка y’= f(x,y) (1) однородно если f(ax,ay)=af(x,y) (2).

Ур-е n-го порядка однородно если f(ax,ay)=a^nf(x,y).

Если ф-я f(x,y) удолетворяет условию (2) то можно записать x<>0 f(x,y)= f(x*1,x*y/x)= f(1,y/x) = =g(y/x) f(x,y)=g(y/x) f(1,u)=g(u) (3). В силу соотношения (3) ур-е (2) имеет вид y’=g(y/x) (4). Это ур-у не явл. ур-м с разд. пер. но может быть сведено к нему заменой u=y/x (5): y=ux y’=u’x+u подставим в (4) u’x+u=g(u) xdu/dx=g(u)-u du/(g(u)-u)=dx/x (6) проинтегр.(6) g(u)-u<>0

du/(g(u)-u)=ln|x|+c (7) Соотношение (7) задает общий интеграл для ур-я (4) после этого возвр. к x, y. Выпис. ур-е g(u)-u=0 (8) и реш-т, корень ур-я (8) задает реш-е ур-я (1).

Ур-я в диф-лах. A(x,y)dx+B(x,y)dy=0 (1)-общий вид ур-я в диф-лах. Это ур-е явл. ур-м в полных диф-лах если такая неотр. диф. ф-я u(x,y) что полный диф-л du(x,y)=(x,y)dx+B(x,y)dy du(x,y)=0 (2) в этом случае общий интеграл для ур-я (1) имеет вид u(x,y)=c (3). Пусть задана ф-я u(x,y): u(x,y)/y<>0 тогдаур-е (3) (по теореме о неявн. ф-и) разрешено c. Обозначим реш. этого ур-я через y(x) тогда u(x,y(x))=c (4). Продиф-м по x: u(x,y)/x+y’(x)u(x,y)/y=0 (5) умножим на dx y’(x)dx=dy т.к. u(x,y)/x=A(x,y); (x,y)/y=B(x,y) (6) то y(x) явл. реш-м ур-я (1).

Теорема. Пусть A(x,y), B(x,y) непр. диф. ф-и тогда для того чтобы ур-е (10) было в полных диф-лах Н.иД. чтобы: A(x,y)/y=B(x,y)/x (7).

Док-во: Н. Пусть ур-е (1) – это ур-е в полных диф-лах, тогда справделивы соотношения (9):

A(x,y)/y=(u(x,y)/x)/y=^2u(x,y)/xy; B(x,y)/x=(u(x,y)/y)/x=^2u(x,y)/xy; т.к. ф-я и по предположению непр. и диф. то смеш. производные совпадают, что и доказ. необходимость.

Д. Имеем (7) докажем что (1)- полный диф-л ф-и и u/x=M(x,y) u=(x0,x)Mdx+(y)Подберем  (y) так чтобы N=u/y; u/y=(x0,x)dxM/y+’(y)=N(x,y) (M/y=N/x) (x0,x)dxu/x+’(y)=N N(x,y)|(x,x0)+’(y)=N(x,y) ’(y)=N(x0,y) (y)=(y0,y)N(x0,y)dy+c u(x,y)=(x0,x)Mdx+ (y0,y)N(x0,y)dy+c ч.т.д.

Часто ур-е в диф-лах можно привести к ур-ю в полных диф-лах путем умножения на некот. ф-ю m(x,y) m(x,y)A(x,y)dx+m(x,y)B(x,y)dy=0 (8) m(x,y)-интегрирующий множитель.

Лекция №5. f(x) x[a,b] Говорят что f удовл. условию Липшица если имеет место след. оценка |f(x)-f(y)|<= <=L|x-y| (1) или |f|<=L|x| постоянная L наз. постоян. Липшица. Условие Липшица не означает что ф-я диф-ма (например y=|x|). Пример:  кусочно непр.ф-я , график которой явл. ломанной кривой удолетворяет условию Липшица. 1.Если ф-я диф-ма на отрезке и ее производная ограничена то она удолетв. усл-ю Липшица (причем в кач-ве L можно взять ее точн. верх. грань значения модуля ее производной : L=sup|f(x)| ). 2.Обратно: если ф-я диф-ма и выполнено усл-е Липшица, то модуль производной ограничен. Док-во: 1.f(x)-f(y)=f’(x+(y-x))(x-y) 0<<1; f(x)-f(y)<=|f’(x+(y-x))||x-y| a<=x<=b 2.|f(x+x)-f(x)|/|x|<=L x0 sup|f’(x)|<=L ч.т.д. Теорема Коши-Липшица. y’=f(x,y) y(x0)=y0 D={|x-x0|<=a, |y-y0|<=b} !!!!!!рис.!!!!!! f непрерывна по переменной x и удолетворяет условию Липшица.

6. Дифференциальные и интегральные неравенства. 1)Т. Чаплыгина о дифференциальных неравенствах. 2)Лемма о линейных диф. нер-ах. 3)Т. Райда об интегральных неравенствах 4)Лемма Беллмана о лин. интегр. нер-ах. « 1 2 3 4 5 6 7 8 9 » К-во Просмотров: 345 Бесплатно скачать Реферат: Шпора по математическому анализу >>> Скачать <<< Меню Поиск