Реферат: Шпоры по вышке
7. Решение линейных уравнений. Решение невырожденых систем.
Метод Гаусса.
Сначала следует привести систему к треугольному (ступенчатому) виду, а затем ступенчато решить.
Формула Крамера.
Подсчитать определитель матрицы А.
Затем матрицей B заменить первый столбец матрицы А, подсчитать определитель и разделить его на detA, так мы получим x1 . То же самое проделать со 2-ым и 3-им столбцом.
8. Решение произвольных систем. Теорема Кронекера-Капелли.
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.
Найти какой-либо базисный минор порядка r. Взять r уравнений, из которых составлен базисный минор. Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называются главными и остаются слева, а остальные называются свободными и переносятся в правую часть уравнения. Найдя главные через свободные, получим общее решение системы.
9. Однородные система уравнений. Фундаментальная система решений.
Система однородных уравнений всегда имеет нулевое решение. Если ранг матрицы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений. Для того, чтобы система имела ненулевые решения, необходимо, чтобы ее определитель был равен нулю.
10. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства.
Рассмотрим непустое множество элементов, которые будем обозначать через x, y, z, … и множество действительных чисел. На этом множестве введем две операции (сложение и умножение). Пусть эти две операции подчиняются аксиомам:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
V; x, y, z, … 
V
Множество V с двумя операциями, удовлетворяющее аксиомам называется линейным пространством.
Элементы линейного пространства называются векторами, обозначаются 
, 
, 
. Существует единственный нулевой элемент, для каждого элемента существует единственный противоположный.
Линейная зависимость и независимость системы векторов. Пусть имеется n векторов.
Составим линейную комбинацию: