Реферат: Способы решения систем линейных уравнений

– очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не изучается. Поэтому первая глава моего реферата посвящена теме матриц и определителей. В ней я рассматривала различные действия над матрицами, свойства определителей, метод Гаусса вычисления ранга матрицы, а так же некоторые другие теоретические вопросы. Во второй главе непосредственно рассматриваются системы линейных уравнений и некоторые методы их решения: правило Крамера, метод Гаусса, а так же теорема Кронекера – Капелли. И в той и в другой главах приведены примеры, которые составляют практическую часть моего реферата.

Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике. Для достижения любой цели необходимо выполнить какие-то определенные задачи. Мне нужно выполнить следующие задачи: исследовать литературу по темам матриц, определителей и систем линейных уравнений; изучить современное состояние данного вопроса; отобрать и классифицировать исследуемый материал; а также провести практическую часть работы. Давайте рассмотрим некоторые примеры важнейших моментов этой работы.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1n x_n = b₁ ;

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2n x_n = b₂ ;

……………………………………

a_n1x₁ + a_n2x₂ + …+ a_nnx_n = b_n ;

a). Если , то система (1) имеет единственное решение,

которое может быть найдено по формулам Крамера: x₁=, где

определитель n-го порядка _i ( i=1,2,...,n) получается из определителя системы путем замены i-го столбца свободными членами b₁ , b₂ ,..., b_n.

б). Если , то система (1) либо имеет бесконечное множество решений , либо несовместна ,т.е. решений нет. Например:

решить систему уравнений

.

Вычислим определитель системы:

Так как определитель не равен нулю, система уравнений может быть решена по формулам Крамера. Найдем определители ∆x , ∆y:

.

Практическое значение правила Крамера для решения системы n линейных уравнений с п неизвестными невелико, так как при его применении приходится вычислять п +1 определителей n-го порядка: , _x1, _x2, …,x_n. Более удобным является так называемый метод Гаусса. Он применим и в более общем случае системы линейных уравнений, т. е. когда число уравнений не совпадает с числом неизвестных.

Итак, пусть дана система, содержащая m линейных уравнений с п неизвестными:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + …+ а_1nх_n = b₁;

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + …+ а_2nх_n = b₂;

_. ……………………………………

а_m1х₁ + а_m2х₂ + …+ а_mnх_n = b_m

Метод Гаусса решения системы (19) заключается в последовательном исключении переменных. Например:

Решить методом Гаусса систему уравнений

x₁ – 2x₂ + x₃ + x₄ = –1;

3x₁ + 2x₂ – 3x₃ – 4x₄ = 2;

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--