Реферат: Способы решения систем линейных уравнений

1.4. Ранг матрицы. 16

Глава II. Системы линейных уравнений. 23

2.1. Основные понятия. –

2.2. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило

Крамера. 24

2.3. Однородная система n линейных уравнений с n

неизвестными. 28

2.4. Метод Гаусса решения общей системы линейных

уравнений. 30

2.5. Критерий совместности общей системы линейных

уравнений. 37

Заключение. 45

Список литературы. 46

-1-

Введение.

Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений, т.е. системы m уравнений 1ой степени с n неизвестными:

a₁₁x₁ + … + a_1n x_n = b₁ ;

a₂₁x₁ + … + a_2n x_n = b₂ ;

………………………………

a_m1x₁+ … + a_mnx_n = b_m .

Здесь x₁, … , x_n – неизвестные, а коэффициенты записаны так, что индексы при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем 1ой степени определяется не только тем, что они простейшие. На практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь, так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач. Ещё Г.Лейбниц (1693) обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений наиболее существенной является таблица, состоящая из коэффициентов, и показал, как из этих коэффициентов (в случае m = n) строить так называемые определители, при помощи которых исследуются системы линейных уравнений. Впоследствии такие матрицы, или матрицы, стали предметом самостоятельного изучения, так как обнаружилось, что их роль не исчерпывается приложениями к теории систем линейных уравнений. Современная алгебра, понимаемая как учение об операциях над любыми математическими объектами, является одним из разделов математики, формирующих общие понятия и методы для всей математики. Для современной алгебры характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над которыми проводятся данные операции. Классическим разделом алгебры является линейная алгебра, т.е. теория

-2-

векторных пространств и модулей, частью которых являются сформировавшиеся ещё в XIX веке теория линейных уравнений и теория матриц. Идеи и методы линейной алгебры применяются во многих разделах математики. Так, основным предметом изучения функционального анализа являются бесконечномерные векторные пространства.

Г.Крамером в 1750 году было установлено правило, применимое к любой системе n линейных уравнений c n неизвестными. Оно носит название правила Крамера. Построение полной теории произвольных систем линейных уравнений было закончено только спустя 100 лет Л.Кронекером.

Применение правила Крамера при практическом решении большого числа линейных уравнений может встретить различные трудности, так как нахождение определителей высокого порядка связано с весьма большими вычислениями. Поэтому были разработаны методы численного (приближённого) решения систем линейных уравнений, наиболее известным из которых является метод Гаусса. Система линейных уравнений может иметь как одно единственное решение (определённая система), так и несколько (и даже бесконечное множество) решений (неопределённая система); может также оказаться, что система линейных уравнений не имеет ни одного решения (несовместная система). Вопрос о совместности системы линейных уравнений, т.е. вопрос о существовании решения системы линейных уравнений, решается сравнением ранга матриц [а_ij] и [a_ij, b_j ]. Если ранги совпадают, то система совместна; если ранг матрицы В строго больше ранга матрицы А, то система несовместна (теорема Кронекера-Капелли).

Несколько уравнений вида a₁x₁ + …+ a_nx_n= b образуют систему линейных уравнений

a_j1x₁ + …+ a_jnx_n = b_j , j = 1, …, m,

которую можно записать как

x₁a₁ + …+ x_na_n = b,

где а₁, …, а_n, b m-мерные векторы, являющиеся столбцами расширенной матрицы В системы. Отсюда следует, что различные линейные уравнения в функциональных пространствах, линейные дифференциальные уравнения, линейные интегральные уравнения