Реферат: Способы решения систем линейных уравнений

Найдем теперь выражение для матрицы А^-1 при условии, что матрица

-11-

А – обратимая. Пусть дана обратимая квадратная матрица А с элементами а_ij. Обозначим через А_ij алгебраическое дополнение элемента а_ij в определителе ∆ матрицы А и составим матрицу В:

А₁₁ A₂₁ … A_n1

B = …………………… (4)

A_1n A_2n … A_nn

Заметим, что в i-й строке матрицы В расположены алгебраические дополнения элементов j-го столбца определителя ∆. Матрица (4) называется присоединённой для матрицы А. Докажем, что матрицы А и В удовлетворяют матричному равенству

АВ = ВА = ∆Е. (5)

Для этого вычислим элемент, стоящий в i-й строке и j-м столбце произведения АВ. Искомый элемент равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:

a_i1A_j1 + a_i2A_j2 + … + a_inA_jn. (6)

Согласно правилу разложения определителя по элементам строки (или столбца) выражение (6) равно определителю ∆ при i = j и нулю при i ≠ j. Следовательно, мы установили, что произведение АВ есть матрица вида

∆ 0 … 0 1 0 … 0

0 ∆ … 0 = ∆ 0 1 … 0

…………… ……………

0 0 … ∆ 0 0 … 1

Таким образом, АВ = ∆Е. Аналогично доказывается и равенство

ВА = ∆Е.

Пусть теперь А – невырожденная матрица (т.е. ∆ ≠ 0). Тогда, умножив обе части равенства (5) на числовой множитель 1/∆ , получим