Реферат: Теория устойчивости систем

Челябинск

2003

Содержание:

1. Устойчивость в смысле Ляпунова............................................................... 3

2. Свойства устойчивых систем...................................................................... 4

3. Устойчивость тривиального решения........................................................ 4

4. Устойчивость линейных систем.................................................................. 5

5. Устойчивость линейных систем с постоянными коэффициентами............ 5

6. Критерии устойчивости линейных систем................................................. 6

7. Второй метод Ляпунова.............................................................................. 8

8. Линеаризация систем дифференциальных уравнений............................. 10

9. Исследование устойчивости линейных систем с помощью второго метода Ляпунова......................................................................................................................... 12

10. Исследование устойчивости нелинейных систем с помощью второго метода Ляпунова........................................................................................................ 12

11. Экспоненциальная устойчивость............................................................ 16

12. Главная обратная связь по состояниям. Метод модального управления 19

13. Асимптотический наблюдатель Люенбергера....................................... 21

Список литературы....................................................................................... 23

1. Устойчивость в смысле Ляпунова

Под устойчивостью системы обычно понимают свойство системы автоматического регулирования (САР) возвращаться к первоначальному состоянию после прекращения действия внешнего возмущения. Полагая, что САР описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений , рассмотрим устойчивость решения дифференциальных уравнений. Пусть поведение САР описывается системой обыкновенных дифференциальны х уравнений

,

где xi – переменные, характеризующие состояние системы. Запишем систему в векторном виде:

Введем в рассмотрение (n+1)-мерное пространство En +1, координатами в котором будут являться переменные t, x 1, x2, …, xn. Будем рассматривать только такие системы, правые части которых непрерывны по всем аргументам и имеют непрерывные частные производные по зависимым переменным x1, x2, …, xn в некоторой выпуклой области G пространства En+1. В этом случае выполняются условия теоремы существования и единственности, то есть для любых начальных значений t 0, x10, x20, …, xn0 существует и при том единственное решение xi = si (t, xi0­), i =1, 2, …, n, удовлетворяющее начальным условиям si (t0, xi0­)=xi0, i=1, 2, …, n. Потребуем бесконечной продолжаемости данного решения, то есть будем считать функции si(t) определенными для t 0 ≤t≤¥ , причем t0 можно считать равным ¥ .

Рассмотрим некоторое решение xi=si(t) данной системы, определенное на интервале [t0,¥), причем si(t0)=xi0. Решение si (t), i=1, 2, …, n называется устойчивым по Ляпунову при t®¥, если для любого e >0 существует такое d >0, зависящее от e и t0, что любое решение xi=j i(t), для которого при t=t0 выполняется неравенство

| ji(t0)–si(t0)|<d,

удовлетворяет неравенству

| ji(t)–si(t)|<e, t0≤t≤¥

для всех i =1, 2, …, n.

Геометрически это означает, что все решения, которые при t=t0 начинаются в d-окрестности точки (x10, x20, …, xn0), никогда не покинут e-трубку решения si(t) (рис. 1).

Решение si (t), i=1, 2, …, n, называется неустойчивым, если существует e>0 такое, что для любого d>0 найдется такой момент времени t=t1, что для некоторого значения i=k будет выполняться неравенство

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--