Реферат: Теория устойчивости систем

несмотря на то, что

| j i(t0)–si(t0)|<d

для всех i=1, 2, …, n.

Решение si(t) называется асимптотически устойчивым, если:

1) решение si(t) устойчиво по Ляпунову при t®¥;

2) существует такое число H>0, что для любого решения ji(t), удовлетворяющего при t=t0 неравенству |ji(t0)–si(t0)|<H, i=1, 2, …, n, будет справедливо равенство

.

Если H=¥, то динамическая система называется устойчивой в целом. Если нулевое состояние линейной системы асимптотически устойчиво , то оно асимптотически устойчиво в большом, то есть асимптотическая устойчивость выполняется для всех начальных состояний и не ограничена состояниями, достаточно близкими к нулевому состоянию.

Линейная система называется устойчиво й (асимптотически устойчивой), если ее начальное состояние устойчиво (асимптотически устойчиво). Нелинейные системы могут иметь асимптотически устойчивое состояние равновесия, не будучи асимптотически устойчивыми в большом, то есть устойчивость справедлива в локальном смысле.

2. Свойства устойчивых систем

Система, описываемая векторным дифференциальным уравнением

,

устойчива в смысле Ляпунова тогда и только тогда, когда найдется постоянная M, которая будет зависеть от t, такая, что

где Ф(t,t0) – переходная матрица, то есть .

Линейная система асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда :

1) имеется постоянная M, такая, что ;

2)

Вектор состояния стационарной системы не может возрастать быстрее, чем некоторая экспонента. Это верно и для нестационарной системы при условии, что матрица A(t) остается ограниченной для всех t³t0.

3. Устойчивость тривиального решения

Исследование устойчивости любого решения системы

,

можно свести к исследованию устойчивости тривиального решения .

Пусть xi=si(t) – некоторое решение системы. Введем новые переменные yi =xi–si(t), тогда

Очевидно, что gi(0,0,…,0) º 0, то есть последняя система будет иметь тривиальное решение yi(t) º0. Эта система носит название системы уравнений возмущенного движения.

Введем в рассмотрение два пространства : Ex решений системы

,

и пространство Ey решений системы

.

Каждой интегральной кривой пространства Ex соответствует интегральная кривая пространства Ey, причем кривой xi =si(t) соответствует yi(t)º0 (рис. 2). Если решение xi=si(t) устойчиво в пространстве Ex, то решение yi(t)º0 устойчиво в пространстве Ey, и наоборот. Поэтому вместо исследования устойчивости решения xi=si(t) можно исследовать устойчивость тривиального решения.