Реферат: Теория устойчивости систем
D (p)=cnpn+cn-1pn-1+…+c1p+c0=0,
то для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при cn>0 все n определителей Гурвица D 1, D2, …, Dn, составленные по определенной схеме, были положительны.
Определители Гурвица составляются с помощью таблицы:
по правилам:
1) выписываются по диагонали все коэффициенты характеристического уравнения, начиная с cn-1;
2) заполняются горизонтальные строки – справа от данного коэффициент а записываются коэффициенты с возрастающими индексами, а слева – с убывающими. В строках, где индекс коэффициентов меньше нуля или больше n, ставятся нули;
3) соответствующий определитель Di получится отчеркиванием i-ой строки и i-го столбца.
Для устойчивости системы необходимо и достаточно выполнение условий:
и т. д.
Необходимым условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения, то есть ci>0, i=1,2,…,n.
Пример: исследовать устойчивость решений линейной однородной системы с постоянными коэффициентами:
Характеристическое уравнение этой системы:
Матрица Гурвица имеет вид:
.
Определители Гурвица:
D1=3>0, D2=9–(1– a2b), D3=D2×(1–a2b).
Таким образом, для положительных главных диагональных миноров матрицы Гурвица требуется, чтобы параметр b удовлетворял неравенствам:
Еще одним критерием, позволяющим исследовать устойчивость системы без непосредственного нахождения корней характеристического уравнения, является критерий Рауса – это алгебраический критерий, позволяющий судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения. Особенно удобен он в тех случаях, когда эти коэффициенты заданы численно, а степень характеристического уравнения высока и использование критерия Гурвица затруднительно.
Критерий Рауса заключается в следующем – для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первой графы таблицы Рауса были положительными.
Таблица Рауса для характеристического уравнения вида
D(p)=cnpn+cn-1pn-1+…+c1p+c0=0
составляется следующим образом:
1) в первой и второй строках таблицы выписываются соответственно коэффициенты cn,
cn-2,… и cn-1, cn-3,…;
2) для определения коэффициента aki таблицы нужно из (k+1)-го коэффициента (i-2)-ой строки (ak +1,i-2) вычесть произведение множителя ri -3 на (k+1)-й коэффициент (i-1)-ой строки (ak +1,i-1), то есть aki=ak+1,i-2–ri-3×ak+1,i-1. Множитель ri-3 есть отношение первого коэффициента (i-2)-й строки (a1,i-2) к первому коэффициенту (i-1)-й строки (a1,i-1). Он постоянен для каждой строки.
|
i К-во Просмотров: 373
Бесплатно скачать Реферат: Теория устойчивости систем
|