Реферат: Уравнения с параметрами

=(2а+ l)² — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем = 5а+4.

Из уравнения =0 находим а= — второе контрольное значение параметра а. При

этом если а < , то D <0; если a ≥ , , то D≥0.

a ≠ 1

Таким образом, осталось решить уравнение (3) в случае, когда а < и в случае, когда { a ≥ , a ≠ 1 }.

Если а < , то уравнение (3) не имеет действительных корней; если же

{ a ≥ , a ≠ 1 }, то находим

Ответ: 1) если а < , то корней нет ; 2) если а = 1, то х = - ;

3) a ≥ , то

a ≠ 1

Дробно-рациональные уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным.

Процесс решения дробных уравнений протекает по обычной схеме: дробное уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиеся решают известным им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, т. е. числа, которые обращают общий знаменатель в нуль. В случае уравнений с параметрами эта задача более сложная. Здесь, чтобы исключить посторонние корни, требуется находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, т. е. решать соответствующие уравнения относительно параметра.

П р и м ер . Решим уравнение

(4)

Р е ш е н и е. Значение а=0 является контрольным. При a =0 уравнение (4) теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а≠0, то после преобразований уравнение (4) примет вид:

х ² +2 (1 — а ) х +а ² — 2а — 3= 0. (5)

Найдем дискриминант уравнения (5)

= (1 — a )² — (a ² — 2а — 3) = 4.

Находим корни уравнения (5):

х ₁ =а + 1, х ₂ = а — 3.

При переходе от уравнения (4) к уравнению (5) расширилась

область определения уравнения (4), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка.

П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых х ₁ +1=0, х ₁ +2=0, х ₂ +1=0, х ₂ +2=0.

Если х ₁ +1=0, т. е. (а +1)+1=0, то а= — 2. Таким образом, при а= — 2 х ₁ — посторонний корень уравнения (4).

Если х ₁ +2=0, т. е. (а +1)+2=0, то а= — 3. Таким образом, при а= — 3 x ₁ — посторонний корень уравнения (4).

Если х ₂ +1 =0, т. е. (а — 3)+1=0, то а= 2. Таким образом, при а= 2 х ₂ — посторонний корень уравнения (4)'.

Если х ₂ +2=0, т. е. (а — 3)+2=0, то а =1. Таким образом, при а= 1 х ₂ — посторонний корень уравнения (4).

Для облегчения выписывания ответа сведем полученные результаты на рисунке .

только х ₂ только х ₂ корней нет только х ₁ только х ₁

х _1,2 х _1,2 х _1,2 х _1,2 х _1,2 х _1,2