Реферат: Уравнения с параметрами

Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения.

Пример. Решите уравнение 2 – log(1 + х ) = 3 log_а - log( х ² – 1 )²

Решение. ОДЗ: х > 1, а > 0, а ≠ 1.

Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного уравнения:

log_а а ² + log( х ² - 1) = log_а ()³ + log_a ,

log_а ( а ² (х ² - 1)) = log_а (()³ ),

а ² (х ² - 1) = (х - 1) ,

а ² (х - 1) (х + 1) = (х - 1)

Так как х ≠ -1 и х ≠ 1, сократим обе части уравнения на (х - 1)

а ² =

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

а ⁴ (х + 1) = х – 1 а ⁴ х + а ⁴ = х – 1 х ( 1 - а ⁴ ) = а ⁴ + 1

Так как а ≠ -1 и а ≠ 1, то

Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно выполняться условие х > 1, то есть

Выясним, при каких значениях параметра а это неравенство истинно:

,

Так как а > 0, то полученная дробь положительна, если 1 – а ⁴ > 0, то есть при

а < 1.

Итак, при 0 < a < 1, x > 1, значит при 0 < a < 1 х является корнем исходного уравнения.

Ответ: при а ≤ 0, а = 1 уравнение не имеет смысла;

при а > 1 решений нет;

при 0 < a < 1

ГЛАВА 2

§1. Разработка факультативных занятий по теме.

В общеобразовательных классах данная тема не берется в явном виде. Она рассматривается в заданиях более сложного характера. Например, при изучении темы "Квадратные уравнения", можно встретить следующие задания:

1) При каком р уравнение х ² – 2х + 1 = р имеет один корень ?

2) При каких значениях параметра р сумма корней квадратного уравнения

х ² + ( р ² + 4р – 5 ) х – р = 0 равна нулю ?

В классах с углубленным изучением математики уравнения с параметрами целенаправленно начинают изучать с 8 класса. Именно в этот период вводится понятие "параметр". Основная задача – научить учащихся решать уравнения с одним параметром.

Ученики должны уяснить, что уравнения с параметром – это семейство уравнений, определяемых параметром. Отсюда и вытекает способ решения: в зависимости от структуры уравнения выделяются подмножества множества допустимых значений параметра и для каждого такого подмножества находится соответствующее множество корней уравнения. Нужно обратить внимание на запись ответа. В нем должно быть указано для каждого значения параметра (или множества его значений), сколько корней имеет это уравнение и какого вида.

На факультативных занятиях следует разобрать следующие виды задач:

1) на разрешимость: определить параметры, при которых задача имеет хотя бы одно решение или не имеет решений вовсе.

2) на разрешимость на множестве: определить все параметры, при которых задача имеет m решений на множестве М или не имеет решений на множестве М.

3) на исследование: для каждого параметра найти все решения заданной задачи.

Разработка факультативных занятий приведена в приложении. Структура следующая:

Занятие№1. Решение линейных и квадратных уравнений

с параметрами.