Шпаргалка: Интегралы, дифуры, матрицы

5. Неперервність ф-ії двох змінних

Ф-ія z=f(x;y) називається неперервною в точці P₀ (x₀ ;y₀ ), якщо

Ф-ія називається неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

Теорема: Нехай на множині D визначена складна ф-ія z=f(x;y), де x=x(u;v), y=y(u;v) і нехай ф-ії x=x(u;v), y=y(u;v) неперервні в точці (u₀ ;v₀ ), а ф-ія f(x;y) неперервна в точці (х₀ ;у₀ ), де x₀ =x(u₀ ;v₀ ), y₀ =y(u₀ ;v₀ ). Тоді складна ф-ія z=f(x(u;v);y(u;v)) неперервна в точці (u₀ ;v₀ ).

6. Властивості неперервної ф-ії двох змінних

Теорема. Якщо ф-ія неперервна в точці, то вона обмежена деяким околом цієї точки.

Теорема. Якщо ф-ії f(x;y) та g(x;y) неперервні в точці (x₀ ;y₀ ), то в цій точці будуть неперервними f(x;y)±g(x;y), f(x;y)×g(x;y), f(x;y)/g(x;y) при g(x₀ ;y₀ )¹0

Теорема. Якщо ф-ія неперервна на замкнутій множині, то вона обмежена на цій площині.

Теорема. Якщо ф-ія неперервна на замкнутій обмеженій множині, то серед її значень є як найменші, так і найбільші.

Теорема. (про нуль неперервної ф-ії): Нехай ф-ія неперервна на зв’язній множині D і приймає у двох точках А і В цієї множини значення різних знаків. тоді у множині D знайдеться така точка, що в ній ф-ія обертається в нуль.

Теорема. (про проміжне значення): Нехай ф-ія f(x;y) неперервна на зв'язаній множині D і у двох будь-яких точках А та В цієї множини вона приймає будь-яке значення m, яке лежить між f(A) і (B), тобто існує така точка cÎD, що f(c)=m.

ДИФЕРЕНЦІЙОВНІСТЬ Ф-ІЇ ДВОХ ЗМІННИХ

1. Частковий та повний прирости ф-ії двох змінних.

Різницею називають повним приростом ф-ії при переході від точки (х₀ ;у₀ ) до точки і позначають Dz. Різницюназивають Частковим приростом по х, а різницю - частковим приростом по у.

Аналогічно визначаються прирости ф-ії більш ніж двох змінних.

2. Диференційовність ф-ії двох змінних

Ф-ія називається диференційовною у точці (х₀ ;у₀ ), якщо її повний приріст Dz можливо подати у вигляді: , де А, В – числа, a, b – нескінченно малі при Dx-0, Dy-0.

Головна лінійна структура приросту ф-ії, тобто АDх+ВDу називається повним диференціалом ф-ії (першим диференціалом) f(x;y) в точці x₀ , y₀ і позначається dz:

Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) диференційовна в точці (x₀ ,y₀ ), тоді існують границі:

Означення: Нехай ф-ія z=f(x;y) визначена в точці (х₀ ;у₀ ) і в її деякому околу. Якщо існує , то вона називається частинною похідною по х (по у) функції в точці (х₀ ;у₀ ) і позначається або .

3. Достатня умова диференційовності ф-ії двох змінних у точці

Існування частинних похідних – необхідна, ала не достатня умова диференційовності ф-ії двох змінних в точці.

Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) в деякому околу точки (х₀ ;у₀ ) має неперервні частинні похідні, то вона диференційовна в точці (х₀ ;у₀ ).

4. Диференціювання складної ф-ії

Теорема: Нехай на множині D визначена складна ф-ія z=f(u;v), де u=u(x;y), v=v(x;y) і нехай ф-ії u(x;y), v(x;y) мають у деякому околу точки (х₀ ;у₀ )ÎD неперервні частинні похідні, а ф-ія z=f(u;v) має неперервні частинні похідні в деякому околу точки (u₀ ;v₀ ), де u₀ =u(x₀ ;y₀ ), v₀ =v(x₀ ;y₀ ). Тоді складна ф-ія z=f(u(x,y);v(x,y)) диференційовна в точці (х₀ ;у₀ ), причому

5. Похідна за напрямом. Градієнт

Означення: Нехай ф-ія z=f(x;y) визначесна в деякому околі точки P₀ =(x₀ ;y₀ ); l деякий промінь з початком в точці P₀ =(x₀ ;y₀ ); P=(x;y) – точка на цьому промені, яка належить околу, що розглядається, – околу точки P₀ =(x₀ ;y₀ ); Dl – довжина відрізка P₀ Р. Границя , якщо вона існує, називається похідною ф-ії z=f(x;y) за напрямом в точці Р₀ і позначається