Шпаргалка: Интегралы, дифуры, матрицы

Похідна за напрямом характеризує швидкість зміни ф-ії z=f(x;y) в точці P₀ =(x₀ ;y₀ ) за напрямом .

Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) має в точці P₀ =(x₀ ;y₀ ) неперервні частинні похідні, тоді в цій точці існує неперервна похідна за будь-яким напрямом причому де – значення частинний похідних в точці P₀ =(x₀ ;y₀ ).

Означення: Вектор з координатами , який характеризує напрям максимального зростання ф-ії z=f(x;y) в точці P₀ =(x₀ ;y₀ )

6. Частинні похідні і повні диференціали вищих порядків

Означення: Диференціалом другого порядку від ф-ії z=f(x;y) називається диференціал від її повного диференціалу, тобто d² z=d(dz). Аналогічно визначають диференціали третього і вищого порядків.

Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) визначена в області D, в цій області існують перші похідні і , другі змішані похіднііі похідні іяк ф-ії від х і у неперервні в точці (х₀ ;у₀ ), тоді в цій точці

7. Похідна неявної ф-ії

Якщо існує неперервна ф-ія однієї змінної y=f(x) така, що відповідні пари (x;y) задовольняють умову F(x;y), тоді ця цмова називається неявною формою ф-ії f(x), сама ф-ія f(x) називається неявною ф-ією, яка задовольняє умову F(x;y)=0.

Припустимо, що неперервна ф-ія y=f(x) задана в неявній формі F(x;y)=0 і що . Похідна знаходиться за формулою:

Аналогічно частинні похідні ф-ії двох незалежних змінних z=f(x;y), яка задана за допомогою рівняння F(x;y;z)=0 де F(x;y;z) – диференційовна ф-ія змінних x,y,z, можуть бути обчислені за формулами:

за умови, що

8. Формула Тейлора для ф-ії двох змінних

Розглянемо ф-ію двох змінних z=f(x;y). Припустимо, що в околу заданої точки (x₀ ;y₀ ) ця ф-ія має неперервні похідні всіх порядків, до n+1 включно. Надамо x₀ і y₀ деякі прирости Dx і Dy так, щоб прямолінійний відрізок, який з’єднує точки (x₀ ;y₀ ) і (x₀ +Dx;y₀ +Dy), не вийшов за межі околу, що розглядається. Тоді формула Тейлора:

_{___}

ДЩСЛІДЖЕННЯ Ф-ІЇ ДВОХ ЗМІННИХ

1. Екстремум ф-ії двох змінних

Означення: Нехай ф-ія z=f(x;y) визначена в деякому околі точки (x₀ ;y₀ ) і неперервна в цій точці. Якщо для всіх точок (x;y) цього околу виконується нерівність , тоді ця точка (x₀ ;y₀ ) називається точкою максимуму (мінімуму) ф-ії z=f(x;y).

Точки максимуму і мінімуму наз. точками екстремуму.

Теорема (необхідна умова екстремуму): Якщо ф-ія z=f(x;y) має екстремум в точці (x₀ ;y₀ ), тоді в цій точці частинні похідні іабо дорівнюють нулю, або хоча б одна з них не існує.

Теорема (достатня умова екстремуму): Нехай ф-ія має екстремум у точці (x₀ ;y₀ ), неперервні частинні похідні першого і другого порядку, причомута а також . Якщо:

AC-B² >0 і A<0 тоді (x₀ ;y₀ ) точка максимуму

AC-B² >0 і A>0 тоді точка мінімуму

AC-B² <0 екстремуму немає

AC-B² =0

2. Умовний екстремум для ф-ії двох змінних

Нехай на відкритій множині DÌR² задано ф-ії u=f(x;y), v=j(x;y) і Е – множина точок, що задовольняють рівняння:

Означення: Рівняння називають рівнянням зв’язку, точку (x₀ ;y₀ )ÎЕ називають точкою умовного строгого максимуму ф-ії u=f(x;y) при обмеженнях рівняння.

Точки умовного максимуму та мінімуму називають точками умовного екстремуму. Умовний екстремум інколи називають відносним екстремумом.