Учебное пособие: Численные методы

3. что понимаем под близостью j(c) и ¦(c) каков критерий согласия;

Часто приближение функции называют аппроксимацией

Постановка задачи интерполяции.

Пусть ¦(c) задана на некотором разбиении отрезка [a;b] точками х_i ,

i=0,n , где a = х₀ <х₁ <…<x_n = b

интерполяция – вычисление ¦(c) в точке Î[a;b], x¹x_i , i = 0,n

экстраполяция – вычисление функции ¦(c) в точке ХÎ[a;b];

Определение интерполяции ввел в 1656 году Джон Уолесс, а в 1655 году ввел символ ¥.

Для полиномиальной интерполяции j(c) имеет вид j(c)=а₀ +а₁ х+а₂ х² +…+а_n xⁿ .

Для того, чтобы считать j(c) к ¦(c) вводится ограничение j(c_i )= ¦(c_i ), i=0,n ;

Т.е значения этих функций в точке х_i должны совпадать. Точки х _i будем называть узлами интерполяции

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Необходимо определить коэффициенты полинома степени n(их будет n+1), построения аппроксимации функции, заданной в n+1 узле. Используя ограничения на j(c): j(c_i )= ¦(c_i )=y, i=0,n , составим систему:

(6_. 1)

Выпишем определитель этой системы

Определитель

Вандермонда

При условии: x₀ ¹x_j приi¹j определитель системы (6.1) отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение.

Вывод:

если задано разбиение в виде n+1различной точки, то всегда существует функция в виде полинома n-ой степени, которая проходит через все точки графика ¦(c),определенной на этом разбиении.

Посторонние приближенияфункции при помощи полиномов указанным способом весьма трудоемко и обладает большой вычислительной погрешностью, поэтому его использование для большого числа узлов интерполяции нецелесообразно.

Лагранж предложил строить интерполяционные полиномы в виде:

P_n (x)=∑ C_i l_i (x) (6.2)

C_{i =} y_{i =} ¦(c_i ), l_i (x)=полиномы n-ой степени, которые удовлетворяют условию:

Для полинома узлы интерполяции x_j , j=0,n , j≠I являются корнями, причем действительными и попарно различными (все имеют кратность 1)

Тогда полином l_i может быть записан в виде:

(6.3)

Общий вид полинома Лагранжа:

(6.4)

Встает вопрос о точности, о приближения функции. Вводится понятие остаточного члена многочлена Лагранжа ; для того, чтобы оценить аппроксимации ¦(c) в некоторой точке xÎ[a;b]

Функцию ¦(c) представим в виде ¦(c)= P_n (x)+R_n (x), где R_n (x)- остаточный член многочлена Лагранжа в процессе длительного и трудоемкого вывода для R_n (x) получена следующая формула: