Функция представляющая собой полином Лагранжа 2-ой степени, построенного по узлам x₀ , x_1,… x_i .

Формула (7.1) позволяет рекуррентно вычислять полином Лагранжа любой степени.

Т.к. (7.1) представляет собой альтернативную форму записи интерполяционного полинома, точность приближения функции также может быть оценена по формуле (6.5)

(7.1)-интерполяционная схема Эйткина.

КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ

Пусть функция ¦(c) задана на системе равноотстоящих узлов x_i =x₀ +ih,

где h-шаг сетки, y_i =¦(c_i ).

Конечной разностью первого порядка в точке x₀ называется ∆y₀ =y₁ -y₀

Конечной разностью первого порядка в точке x_i : ∆y_i =y_{i +1} -y₀ -y_i

Конечной разностью второго порядка в точке x₀ : ∆² y₀ =∆y₁ -∆y₀

Конечной разностью второго порядка в точке x_i : ∆² y_i =∆y_{i +1} -∆y_i

Общая формула для конечной разности k-того порядка в точке x_i :

∆ ^k y_i =∆ ^{k -1} y_{i +1} -∆ ^k y (7.2)

Заметим: ∆⁰ y_i = y_i

Формула (7.2) позволяет вычислять рекуррентно конечные разности

Связь конечных разностей и производных

чем меньше h, тем точность выше

Аналогично можем получить связь

; (7.3)

Свойства конечных разностей

В связи с производными вида(7.3)конечные разности обладают свойствами:

1. постоянные, равны нулю;

2. постоянный множитель у функции выносится за знак

3. суммы 2-х функций равны сумме каждой функции

4. полинома n-ой степени, n-го порядка постоянны и равны

∆ⁿ y=hⁿ a_n n!

a_n -коэффициент при xⁿ полинома R_n (x)

Верно и обратное утверждение: все конечные разности n-го порядка некоторой функции постоянны и одинаковы, конечные разности n +1-го порядка равны 0, а конечные разности n-1-го порядка различны, то функция представляет собой полином n-ой степени.

Распространение ошибки в исходных данных при вычислении конечные разности