Строится система вложенных отрезков

¦^{( n +1)} -производная (n+1)-го порядка

Пусть

(6.6)

Если ¦(c)-полином n-ой степени, то производная (n+1)-го порядка равна 0, тогда R_n (x)≡0 и мы получаем точную аппроксимацию.

Теорема:

Многочлен Лагранжа вида (6.4) для таблично заданной функции единственен.

Доказательство:

Пусть Q_n (x)- многочлен Лагранжа, построенный для этой же функции ¦(c) по тем же узлам интерполяции. Q_n (x)¹P_n (x) Q_n (x_i )=y_i =P_n (x_i ),

Рассмотрим многочлен L_n (x)= Q_n (x)-R_n (x)-это многочлен n-ой степени, для которого точки x_i , i=0,n являются корнями. Это противоречит основной теореме алгебры, которая говорит о том, что полином n-ой степени имеет ровно n корней . А L_n (x) имеет n+1 корней . Противоречие доказывает теорему.

Интерполяционная схема Эйткина

Поскольку при большом числе узлов интерполяции вычисление значения полинома Лагранжа по формуле (6.4) громоздко, необходимо получить рекуррентную формулу.

Пусть ¦(c)- непрерывна, узлы выбраны на отрезке [a;b] таким образом, что:

Введем функцию

x_i -узлы интерполяции;

y_i= ¦(c)

Полином Лагранжа: P_n (x) см. (6.4)

Таким образом, функция Q_0,1 (x) представляет собой полином Лагранжа l-ой степени, построенной по узлам x₀ ,x₁ введем функцию вида

Функция Q_1,2 (x)- интерполяционный полином Лагранжа, построенный по узлам x₁ ,x₂ .

Введем теперь функцию

Аналогично:

Q_0,1,2 (x₂ )= у₂

В силу единственности полинома Лагранжа, построенного по узлам x₀ , x₁ ,x₂

функция Q_0,1,2 (x) представляет собой интерполяционный полином Лагранжа 2-ой степени, построенный по узлам x₀ , x₁ ,x₂ .

Введем функцию: