Пособие для студентов физических специальностей

Применяется метод решения задач, основанный на использовании якобианов, который позволяет легко перейти от недоступных измерению величин к доступным.

Приведены примеры решения подобных задач, для которых получены общие дифференциальные соотношения, позволяющие анализировать полученные выражения для идеальных и реальных систем. Показано, что одно и то же значение частной производной, при постоянном значении выбранного параметра, можно получить несколькими способами, в зависимости от выбора промежуточных переменных. Это даёт возможность, с одной стороны, проверить правильность полученных соотношений, а с другой, ввести в рассмотрение такие новые якобианы, тождественно равные единице, которые относительно быстро приводят к решению задачи.

Пособие может быть рекомендовано студентам физических специальностей высших учебных заведений, желающих углубить свои знания в данной области, и использовано ими в учебно-исследовательской работе при составлении и решении новых задач и интерпретации полученных соотношений.

КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Перестройка программы высших учебных заведений по общей и теоретической физике предполагает усовершенствование методов изучения отдельных вопросов и разделов, а также и методов решения задач. Это усовершенствование должно позволить студентам не только глубже усвоить физическое содержание рассматриваемого вопроса, но и видеть взаимосвязь между изучаемыми явлениями.

При изучении ряда вопросов и решении части задач термодинамики часто приходится производить преобразование термодинамических величин, например, преобразования переменных, поддерживаемых постоянными в ходе процесса, другими. Такие преобразования нужно совершать по общим правилам замены переменных при дифференцировании функций по нескольким переменным. [1].

Один и з спос обов п ре образован ия те рмодинамических вели­чин при веден в [1] . Однако преобразования вели чин целес ообраз­но производить методом якоби анов, но для этого не обходимо ознакомить с туден тов с якобиан ами и их свой ствами [ 2].

Якобианом называется определитель

причем такой символ сле дуе т рассматривать как единый, а U и υ – как функци и Х и У .

Якобиан обладает следующим и важ ными свой ствами :

1.

2.

3.

4.

Если система может быть описана тре мя независимыми пе ре­ мен ными , н апример, в случае си стемы с перемен ным коли чеством в ещес тва, то целесообразн о использовать якоби ан вида:

,

который раскрывается как определитель третьего порядка. Для систем с четырьмя независимыми переменными, якобиан раскрывается как определитель четвертого порядка и т. д.

Таким образом, в термодинамике, согласно [3], существу­ет такое множество соотношений, что н е имеет смысла их запоми­н ать. Лучше запомн ить лишь термоди намичес кое тождество, объе­диняющее первое и второе начала, определения термодинам ических потенциалов и как ое -н ибудь правило преобраз ования одного набора переменных в другой, что легко осуществить составлен ием дет ер­ мин антов Якоби.

Применение якобианов, с одной стороны, позволяет устанав­ливать связь между термодинамическими величинами (коэффициента­ми) наи более простым способом, а с другой – даёт возможнос ть легко перейти от недоступных измерению величин к доступным.

ТЕРМОДИ НАМИЧ ЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ И УСТАНОВЛЕНИЕ СВЯЗИ МЕЖДУ НИМИ.

Согласно [4], термодинамическими коэффициентами н азыва­ ютс я выражения вида , где символами l, m, n обозначены р , V , Т , S . Эти коэффициенты характеризуют определённые свойства системы.

Составим таблицу те рмодинамичес ких коэффи циен тов так, чтобы первая с трока не содержала S , вторая – Р, третья – V и четвертая – Т :

Можно показать, что если четыре из них, подчеркнутых в таблице, выбрать в качестве независимых коэффициентов, то ос­тальные восемь могут быть выражены через них. Действительно, нетрудно заметить, что произведение коэффициентов, стоящих в одной строке данной таблицы, равно минус единице. Например, для первой строки

Разделив обе части данного выражения на , получим

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--