Учебное пособие: Матрицы и определители

Диагональная, а значит квадратная, матрица называется единичной , если все элементы главной диагонали равны 1:

Е = = diag (1, 1, 1,…,1).

Заметим, что единичная матрица является матричным аналогом единицы во множестве действительных чисел, а также подчеркнем, что единичная матрица определяется только для квадратных матриц.

Приведем примеры единичных матриц:

=, =.

Квадратные матрицы

А = , В =

называются верхней и нижней треугольными соответственно.

2 . Пусть m = 1, тогда матрица А – матрица-строка, которая имеет вид:

3 . Пусть n=1, тогда матрица А – матрица-столбец, которая имеет вид:

4 .Нулевой матрицей называется матрица порядка m´n, все элементы которой равны 0:

0 =

Заметим, что нулевая матрица может быть квадратной, матрицей-строкой или матрицей-столбцом. Нулевая матрица есть матричный аналог нуля во множестве действительных чисел.

5 . Матрица называется транспонированной к матрице и обозначается , если ее столбцы являются соответствующими по номеру строками матрицы .

Пример . Пусть = , тогда = .

Заметим, если матрица А имеет порядок m´n, то транспонированная матрица имеет порядок n´m.

6 . Матрица А называется симметричной , если А=А, и кососимметричной , если А = –А.

Пример . Исследовать на симметричность матрицы А и В.

= , тогда = , следовательно, матрица А – симметричная, так как А = А.

В = , тогда = , следовательно, матрица В – кососимметричная, так как В = – В.

Заметим, что симметричная и кососимметричная матрицы всегда квадратные. На главной диагонали симметричной матрицы могут стоять любые элементы, а симметрично относительно главной диагонали должны стоять одинаковые элементы, то есть =. На главной диагонали кососимметричной матрицы всегда стоят нули, а симметрично относительно главной диагонали = – .

2. АЛГЕБРА МАТРИЦ

Рассмотрим действия над матрицами, но вначале введем несколько новых понятий.

Две матрицы А и В называются матрицами одного порядка, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов.

Пример. и – матрицы одного порядка 2´3;

и – матрицы разных порядков, так как 2´3≠3´2.

Понятия ″больше″ и ″меньше″ для матриц не определяют.

Матрицы А и В называются равными, если они одного порядка m´n, и = , где 1, 2, 3, …, m, а j = 1, 2, 3, …, n.