Учебное пособие: Матрицы и определители

5. Определитель равен нулю, если соответствующие элементы его строк (столбцов) пропорциональны:

=0, = 0.

6. Если элементы одной строки (столбца) определителя равны сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей:

=+, =+.

7. Значение определителя не изменится, если к элементам его строки (столбца) прибавить (вычесть) соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число :

=+=,

так как =0 по свойству 5.

Остальные свойства определителей рассмотрим ниже.

Введем понятие определителя третьего порядка: определителем третьего порядка квадратной матрицы называется число

Δ == det A= =

=++– – – ,

(2)

т. е. каждое слагаемое в формуле (2) представляет собой произведение элементов определителя, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца. Чтобы запомнить, какие произведения в формуле (2) брать со знаком плюс, а какие со знаком минус, полезно знать правило треугольников (правило Саррюса):

Пример . Вычислить определитель

==

==

=.

Следует отметить, что свойства определителя второго порядка, рассмотренные выше, без изменений переносятся на случай определителей любого порядка, в том числе и третьего.

2. ТЕОРЕМЫ ЛАПЛАСА И АННУЛИРОВАНИЯ

Рассмотрим еще два очень важных свойства определителей.

Введем понятия минора и алгебраического дополнения.

Минором элемента определителя называется определитель, полученный из исходного определителя вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит данный элемент. Обозначают минор элемента через .

Пример . = .

Тогда, например, = , = .

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор , взятый со знаком . Алгебраическое дополнение будем обозначать , то есть =.

Например:

= , === –,

===.

Вернемся к формуле (2). Группируя элементы и вынося за скобки общий множитель, получим:

=(– ) +( – ) +(–)=