Учебное пособие: Моделювання економіки

G=(I-A)^-1 ,

=G,

де G - обернена матриця Леонтьєва або мультиплікатор Леонтьєва . Матриця G дорівнює

G=(G_ij ), , .

Ця матриця називається матрицею коефіцієнтів повних матеріальних витрат. Елемент G_ij показує потребу в валовій продукції і -ї галузі для виробництва одиниці кінцевої продукції j -ї галузі.

Задача планування випуску валової продукції є перетворенням вектора кінцевої продукції за допомогою матриці (I-A)^-1 у вихідний вектор валової продукції

=(I-A)^-1 .

Виникає питання відносно умов, за яких існує така матриця (I-A)^-1 , що для будь-якого невід'ємного вектора ,≥0, вектор (I-A)^-1 також невід'ємний. Матриця А в такому разі називається невід'ємною, якщо всі її елементи є невід'ємними. Для економічних систем матриця А завжди невід'ємна.

Умови продуктивності матриці А зв'язані з використанням одного з тверджень:

1) максимальне власне число λ(A) матриці А менше 1;

2) матриця (I-A) має невід'ємну обернену матрицю;

3) матричний ряд

I+A+A² +...+A ^r +… = ,

A⁰ =I,

(так званий ряд Неймана матриці А ) збігається, при цьому його сума дорівнює оберненій матриці (I-A)^-1

=(I-A)^-1 ,

4) послідовні головні мінори матриці (I-A ) додатні.

За даними А та побудувати модель Леонтьєва для двох галузей та знайти вектор валової продукції .

Для цього виконати такі дії:

1) знайти матрицю (I-A), де І – одинична матриця

I=,

2) обчислити визначник матриці |I-A|.

Для обчислення визначника можна скористатись правилом трикутника. Наприклад, для матриці В

В=,

визначник дорівнює:

,

3) знайти мінори для елементів матриці (I-A). Нагадаємо визначення мінору. Мінором M_ik називається визначник (n-1) порядку, який одержуємо після викреслення і - рядка та k - стовпця, ; . Наприклад, мінор М₁₁ дорівнює.

;

4) знайти алгебраїчні доповнення для елементів матриці (I-A ).