Две стороны остроугольного треугольника равны 13см и 15см, а высота, проведенная к третьей стороне, - 12см. Найти радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника.(желательно с объяснением)

Обяснение такое. Высота разбивает треугольник на 2 прямоугольных. В одном гипотенуза 13, катет 12, значит второй катет 5 (Пифагорова тройка 5,12,13). В другом гипотенуза 15, катет 12, значит второй катет 9 (на этот раз 9,12,15, подобно 3,4,5). Можно, конечно, тупо сосчитать по теореме Пифагора, но результат будет тот же :))). Итак, третья сторона треугольника 9 + 5 = 14. Причем мы знаем высоту к этой стороне. Поэтому площадь треугольника S = (1/2)*14*12 = 84. Периметр P = 13 + 14 + 15 = 42. S = P*r/2, где r - радиус вписанной окружности. r = 2*84/42 = 4; Радиус описанной окружности находится так. Пусть угол между сторонами 14 и 15 - это А, тогда sin(A) = 12/15, и S = (1/2)*14*15*sin(A); Но по теореме синусов 2*R*sin(A) = 13; Отсюда получаем R = 13*14*15/(4*84) = 65/8 = 8,125;     

  Радиусы этих окружностей найдем через площадь треугольника.  радиус вписанной окружности r=S :p , где р=полупериметр треугольника радиус описанной окружности R=abc:4S Чтобы вычислить площадь треугольника, мы должны знать его третью сторону. Найдем эту сторону по теореме Пифагора через высоту. Одна часть основания треугольника равна 12²=13²-х² х²=169-144 х²=25 х=5 Вторая 12²=15²-х² х²=225 -144 х²=81 х=9 Длина основания треугольника 9+5=14 Теперь найдем площадь треугольника по классической формуле: S=12*14:2=84 см² Полумериметр треугольника (13+14+15):2=42:2=21 Найдем радиус R описанной окружности R=13*14*15:336=2730:336=8,125 см Радиус r вписанной окружности r=S :p r=84:21=4 см