Решите уравнение [latex]xy+x-y=2[/latex] в целых числах (диофантово уравнение).

Найти все [latex]\displaystyle \{x,y\}[/latex] такие, что [latex]\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}[/latex] и [latex]\displaystyle xy+x-y=2[/latex]. Решим [latex]\displaystyle xy+x-y=2[/latex] для [latex]\displaystyle x[/latex]. Прибавим [latex]\displaystyle y[/latex] к обеим частям уравнения: [latex]\displaystyle xy+x=y+2;[/latex] Вынесем [latex]\displaystyle x[/latex] за скобки в левой части уравнения: [latex]\displaystyle x(y+1)=y+2;[/latex] Рассмотрим случай, когда [latex]\displaystyle y\neq{-1}[/latex], и разделим обе части уравнения на [latex]\displaystyle y+1[/latex]: [latex]\displaystyle x=\frac{y+2}{y+1};[/latex] Запишем член [latex]\displaystyle 2[/latex] в числителе в правой части уравнения как [latex]\displaystyle 1+1[/latex]: [latex]\displaystyle x=\frac{y+1+1}{y+1};[/latex] Разобём дробь в правой части уравнения на сумму дробей: [latex]\displaystyle x=\frac{y+1}{y+1}+\frac{1}{y+1};[/latex] Упростим: [latex]\displaystyle x=1+\frac{1}{y+1}.[/latex] Заметим, что [latex]\displaystyle x[/latex] является целым тогда и только тогда, когда член [latex]\displaystyle\frac{1}{y+1}[/latex] в правой части уравнения является целым. Член [latex]\displaystyle\frac{1}{y+1}[/latex] является целым тогда и только тогда, когда знаменатель противоположен или является делителем числителя. Числитель [latex]\displaystyle 1[/latex] имеет ровно один делитель: [latex]\displaystyle 1[/latex]. Получаем: [latex]\displaystyle y+1=1 \lor y+1=-1[/latex]. Решим для [latex]\displaystyle y[/latex]. Прибавим [latex]\displaystyle -1[/latex] к обеим частям уравнений: [latex]\displaystyle y=0 \lor y=-2[/latex]. Подставим в исходное уравнение, решённое для [latex]\displaystyle x[/latex]: [latex]\displaystyle x=1+\frac{1}{0+1}=2 \lor x=1+\frac{1}{-2+1}=0.[/latex] Проверим, есть ли решения при исключённом случае [latex]\displaystyle y=-1[/latex], подставив в исходное уравнение [latex]\displaystyle y=-1[/latex]: [latex]\displaystyle x\times(-1)+x-(-1)=2;[/latex] [latex]\displaystyle -x+x+1=2;[/latex] [latex]\displaystyle 1=2[/latex], следовательно, при [latex]\displaystyle y=-1[/latex] решений нет. [latex]\displaystyle\boxed{x=0 \land y=-2 \lor x=2 \land y=0}\phantom{.}.[/latex]