Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6, а двугранный угол при основании равен 45°. Найдите объем пирамиды.

1) [latex] S_{o} = \frac {a^{2} \sqrt{3} }{4} = \frac {AB^{2} \sqrt{3} }{4}= \frac{36\sqrt{3} }{4} = 9\sqrt{3} [/latex] 2) Опустим высоту DE в грани DCB. Т.к. пирамида правильная ⇒ ΔDCB равнобедренный ⇒ DE - медиана ⇒ E - середина ребра CB. Соединим AE. т.к. ΔABC - равносторонний ⇒ AE медиана и высота. DE ⊥ CB и AE ⊥ CB ⇒ ∠AED - линейный угол двугранного угла. 3) Опустим высоту DH. т.к. пирамида правильная H делит AE в отношении 2:1 начиная от вершины ⇒ HE = 1/3 AE. ΔDHE - прямоугольный и равнобедренный ⇒ h = DH = HE = 1/3 AE; [latex]AE = \frac {a \sqrt{3} }{2} =\frac {6 \sqrt{3} }{2} = 3\sqrt{3}[/latex] [latex]h = \frac{1}{3} *3\sqrt{3} = \sqrt{3}[/latex] 4)[latex]V = 1/3 * S_o * h = 1/3 * 9\sqrt{3} * \sqrt{3} = 9[/latex]