Вася играет сам с собой в игру. Вначале он пишет на доске положительное число (не обязательно целое). За один ход он может стереть наименьшее число (одно из наименьших, если их несколько), разбить его на два положительных слага...
Вася играет сам с собой в игру. Вначале он пишет на доске положительное число (не обязательно целое). За один ход он может стереть наименьшее число (одно из наименьших, если их несколько), разбить его на два положительных слагаемых х и у и записать на доску два числа 2;г и 3;у (например, стерев число 3, можно записать '2 и 6, что соответствует х = 1, у = 2). Может ли Вася добиться того, чтобы в тот момент, когда на доске окажутся 2011 чисел, все они были равны единице?
Ответ(ы) на вопрос:
Вася стирает число a=x+y вместо него он получит два числа 2x и 3y, сумма которых 2x+3y=2x+2y+y=2(x+y)+y=2a+y>2a (y>0) то есть делая ход Вася увеличивает сумму уже имеющихся у него чисел на число большее числа которое он стирает (сумма чисел возрастает на удвоенное число которое Вася стирает плюс еще какоето положительное число) если он дошел до момента что у него 2010 чисел 1) среди них есть хотя бы не одна единица - число А, А>1, он стирает одну из 1 так как она меньше числа А и у него в лучшем случае стает 2009-1+2=2010 единиц, а надо 2011 2) все 2010 полученных чисел 1, тогда он стирает одну из единиц, а сумма всех чисел возрастет больше чем на две единицы(см. выше), и сумма окажется больше 2011=1+1+1+...1 (2011 раз) 3) пусть среди 2010 чисел двое чисел хотя бы меньше 1, тогда стерев одно из них, на следующем ходу у него останется одна не 1 3) (2009 единиц и число 5\6) пусть среди 2010 чисел только одно из чисел B<1, остальные 2009 чисел - единицы, тогда ему нужно разбить число В на два числа так, чтобы и число "2x" и "3y" (B=x+y) были равны 1 но тогда число х=1\2 а число y=1\3 значит число В=1\2+1\3=5\6 очевидно, что на предыдущем ходу он получил 1 и число В=5\6 (5\6 меньше 1, и он бы должен был стирать 5\6 если бы оно появилось раньше, а не одну из 1, других чисел у него нет) на предыдущем ходе у него было 2008 единиц и какоето число С, из которого он получил 1 и 5\6 так как он стер число С, то оно меньше или равно1 если С=1, то 1=x+y и 2x=1 3y=5\6 (x=1\2 y=5\18 и тогда x+y не равно 1) или 3x=1 2y=5\6 (x=1\3 y=5\12 и тогда x+y не равно 1). если С<1, то x+y=C<1 и 2x=1 3y=5\6 (x=1\2 y=5\18 C=14\18=7\9) или 3x=1 2y=5\6 (x=1\3 y=5\12 C=9\12=3\4). 1.1.значит у него было 2008 единиц и число 7\9 или 1.2. 2008 единиц и число 3\4 (2006 единиц и число D получает 2007 единиц и число 7\9) D=x+y<=1 D=1 (2x=1 3y=7\9 x=1\2 y=7\27 x+y не равно 1 2x=7\9 3y=1 x=7\18 y=1\3 x+y не равно1) D<1 2x=1 3y=7\9 x=1\2 y=7\27 x+y=D=41\54 2x=7\9 3y=1 x=7\18 y=1\3 x+y=D=13\18) (2006 единиц и число D получает 2007 единиц и число 3\4) D=1 (2x=1 3y=3\4 x=1\2 y=3\12 x+y не равно 1 2x=3\4 3y=1 x=3\8 y=1\3 x+y не равно1) D<1 2x=1 3y=3\4 x=1\2 y=1\4 x+y=D=3\4 2x=3\4 3y=1 x=3\8 y=1\3 x+y=D=11\24) таким образом напрашивается 3\4 стираем 3\4=1\2+1\4 получаем 1=2*1\2 и 3\4=3*1\4 так делаем 2007 раз, (получаем 1 и 3\4 стирая 3\4) на 2008 раз стираем 3\4 3\4=9\12=4\12+5\12=1\3+5\12 получаем 1=3*1\3 и 5\6=2*5\12 получаем 2009 единиц и число 5\6(5\6 меньше 1) 5\6=1\2+1\3 1=2*1\2 1=3*1\3 получаем 2011 единиц ответ: можно
Не нашли ответ?
Похожие вопросы