Н.Н. Баутиним [1, с.181 - 196] і Н.Н. Серебряковою [8, с.160 - 166] повністю досліджений характер поводження траєкторій системи (0.1), що має два алгебраїчних інтеграли у вигляді прямих. В [10, с.732 - 735] Л.А. Черкасом таке дослідження проведене для рівняння (0.2) при наявності приватного інтеграла у вигляді кривої третього порядку. Яблонський А.И. [11, с.1752 - 1760] і Филипцов В.Ф. [9, с.469-476] вивчали квадратичні системи із припущенням, що приватним інтегралом були алгебраїчні криві четвертого порядку.

У даній роботі розглядається система

(0.3)

і проводиться якісне дослідження в цілому системи (0.3) за умови, що приватним інтегралом є крива четвертого порядку, що розпадається на дві криві другого порядку, одна й з яких парабола, друга окружність або гіпербола.

Робота складається із двох глав.

У першому розділі проводиться побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем із заданими інтегралами, при цьому коефіцієнти інтегралів виражаються через коефіцієнти системи, а коефіцієнти системи зв'язані між собою трьома співвідношеннями.

У другому розділі проводиться якісне дослідження в цілому виділених у першому розділі класів систем при фіксованих значеннях деяких параметрів.

1. Побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем

1.1 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи із приватним інтегралом у вигляді параболи

Розглянемо систему диференціальних рівнянь

(1.1)

Нехай система (1.1) має приватний інтеграл виду:

, (1.2)

де Fk (x,y) - однорідні поліноми від x і y ступеня k.

Як приватний інтеграл (1.2) візьмемо параболу виду:

F (x,y) (y+ (1 x2 + (2 x+ (3 = 0 (1.3)

Будемо припускати, що (3 (0, тобто парабола не проходить через початок координат.

Згідно [10, с.1752-1760] для інтеграла (1.3) системи (1.1) має місце співвідношення:

, (1.4)

де L (x,y) = px+my+n, p, m, n - постійні.

Тоді випливаючи формулі (1.4) одержимо рівність:

(2 (1x+ (2) (ax+by+a1x2+2b1xy+c1y2) + (cx+dy+a2x2+2b2xy+c2y2) = (y+ (1x2+ (2x+ (3) (px+my+n).

Дорівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях xm yn ліворуч і праворуч, одержимо рівності:

(2a1-p) (1= 0 (1.51), (4b1-m) (1= 0 (1.52), 2 (1c1= 0 (1.53)

(2a-n) (1+ (a1-p) (2+a2= 0 (1.61)

2 (1b+ (2b1-m) (2+2b2+p= 0 (1.62)

(2c1+c2-m= 0 (1.63), (a-n) (2-p (3n+c= 0 (1.71)

(2b- (3m+d-n= 0 (1.72), (3n= 0 (1.73)

Нехай (1 (0, тоді з рівностей (1.51), (1.52), (1.53), (1.63) і (1.73) одержуємо, що

P=2a1, m=4b1, c1=0, c2=4b1, n=0 (1.8)

Зі співвідношень (1.61), (1.62) і (1.71) знайдемо вираження коефіцієнтів кривій (1.3) через коефіцієнти системи (1.1) у наступному виді: