a2, (1.10)

a3. (1.11)

Рівність (1.72) з урахуванням отриманих виражень (1.9) - (1.11), дасть умову, що зв'язує коефіцієнти a, b, c, d, a1, a2, b1, b2:

(1.12)

Отже, установлена наступна теорема:

Теорема 1.1 Система (1.1) має приватний інтеграл (1.3), коефіцієнти якого виражаються формулами (1.9) - (1.11), за умови, що коефіцієнти системи зв'язані співвідношенням (1.12) і c1= 0, c2= 4b1, a1 (0, 2b1a-a1b (0.

1.2 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи із приватним інтегралом у вигляді окружності або гіперболи

Нехай тепер система (1.1) поряд з інтегралом (1.3) має інтеграл у вигляді:

y2+ (x2+ (x+ (y+ (=0 (1.13)

Будемо розглядати тепер систему:

(1.14)

Відповідно до формули (1.4), де L

(x,y) = m1x+n1y+p1,m1, n1, p1 - постійні для системи (1.1), маємо:

(2a1-m1) (2= 0 (1.151)

(4b1-n1) (+2a1= 0 (1.152)

m1= 4b2 (1.153)

n1=8b1 (1.154)

(2a-p1) (+ (a1-m1) (+a2 (=0 (1.161)

2b (+ (2b1-n1) (+ (2b2-m1) (+2c= 0 (1.162)

(4b1-n1) (+2d-p1= 0 (1.163)

(a-p1) (+c (+m1 (= 0 (1.171)

b (+ (d-p1) (-n1 (= 0 (1.172)

p1 (= 0 (1.173)

Припустимо, що крива не проходить через початок координат, тобто ( (0.Нехай ( (0, тоді з рівностей (1.151), (1.153), (1.154) і (1.173) одержуємо, що

m1=4b2, n1=8b1, a1=2b2, p1=0 (1.18)

А зі співвідношень (1.161), (1.163) і (1.171) знайдемо вираження коефіцієнтів кривій (1.13) через коефіцієнти системи (1.1) у наступному виді:

(1.19), (1.20)

(1.21), (1.22)

Підставляючи коефіцієнти (, (, (і (у рівності (1.162) і (1.172), одержимо дві умови, що зв'язують коефіцієнти a, b, c, d, a2, b1, b2: