Дипломная работа: Кинетические уравнения Власова

Пусть радиационная генерация электромагнитного поля (далее – ЭМП) идёт в широком потоке быстрых электронов, образующемся при рассеянии в среде ионизирующих частиц. В общем случае ЭМП будет самосогласованным, то есть заметно влиять на динамику быстрых электронов, а решение подобных трёхмерных задач в сложных средах требует зачастую недоступного в настоящее время объема ресурсов ЭВМ. В ряде практически важных случаев параметры потоков ионизирующих частиц и среды оказываются такими, что эффект согласования ЭМП и плотности тока быстрых электронов невелик. Его можно попытаться учесть как малое возмущение при определении значений плотности тока и ЭМП. Другие моменты функции распределения быстрых электронов в задачах радиационной генерации ЭМП как правило интереса не представляют. Этот подход к трёхмерным задачам целесообразно исследовать в рамках более простых дву- и даже одномерных постановок при определении необходимого набора функционалов от функции распределения[11] .

Условия, в которых происходит ионизирующее рассеяние, образование потоков заряженных частиц и ЭМП, создаются широким набором физических эффектов. Представляется очевидным, что все они приводят к уменьшению ЭМП и фактора самосогласования. Например, столкновения быстрых электронов со средой уменьшает их направленную скорость. В том случае, когда среда имеет исходное распределение электрофизических параметров, заметно отличающееся от вакуумного, ЭМП будет иметь заведомо меньшие значения напряженности электрического поля и магнитной индукции. То есть, адекватность методик, рассматривающих эффект согласования как малое возмущение, целесообразно исследовать в рамках модельных задач, описывающих распространение потоков электронов в вакууме.

Целью практической части работы является получение асимптотического разложения решения задачи о торможении потока электронов собственным электрическим полем в одномерной вакуумной модели и преобразование его к виду, который интерпретируется в терминах рядов Бюрмана-Лагранжа. При этом физически очевидно, что влияние поля на электроны в такой задаче заведомо завышено, что гарантирует применимость выводов о сходимости получающихся разложений к решениям для реальных моделей.

Сформулированная проблема имеет универсальный характер: анализ некоторых задач с реакторной тематикой – управление работой реактора, детальный учет эффекта выгорания и др. – приводит к необходимости рассматривать аналогичную ситуацию. Для описания поведения реактора ищется его нейтронное поле N = N(t, r , v ). Такая информация, разумеется, избыточна, но с помощью неё сравнительно просто находить различные функционалы от уже найденного поля, значения которых и представляют практический интерес. В данном случае интерес представляет величина ЭМП – линейного функционала от электронного поля f = f(t, r , v ), – которое само входит в систему Власова-Максвелла и, как будет рассмотрено далее, может в некоторых достаточно простых, но имеющих важные следствия, случаях быть найдено, минуя определение функции f(t, r , v ), нахождение которой в дальнейшем сводится к решению классических задач с линейными уравнениями первого порядка. В этом состоит определённая специфика системы Власова-Максвелла.

3.2 Постановка задачи

Модели ЭМП в задачах его радиационной генерации строятся на основе уравнений Максвелла, содержащих роторы электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что быстрые электроны сами ионизуют среду, порождая вторичные электроны и ионы низкой энергии. Концентрация вторичных заряженных частиц во много раз превышает концентрацию быстрых электронов. По этой причине вторичные электроны в математических моделях рассматриваются отдельно. Источником ЭМП является сторонний ток быстрых электронов и проводимость слабоионизованного газа вторичных заряженных частиц. Соответствие такой модели закону Гаусса обеспечивается уравнением непрерывности для системы всех заряженных частиц.

Рассмотрим эмиссию монохроматического потока электронов со всей плоскости xOy вдоль оси Oz в вакуум. Функция распределения электронов f(t, z, p) удовлетворяет одномерному уравнению Власова, записанному в импульсной, учитывающей релятивистские эффекты, форме:

а входящее в него E – самосогласованное электрическое поле – закону Ампера:

, .

Здесь и далее: с – скорость света; – скорость электрона; m0, re, e, – его масса покоя, классический радиус и заряд соответственно. Плоский поток заряженных частиц порождает одну компоненту плотности электрического тока j(t, z): вдоль оси Oz. В условиях такой симметрии ненулевой является только Ε z-компонента ЭМП. Остальные его компоненты равны нулю вследствие уравнений Максвелла и однородных начальных данных: f(0, z, p) = 0, Ε(0, z) = 0.

Функция F(t) описывает интенсивность эмиссии с плоскости, то есть число электронов, вылетающих с единицы площади поверхности в единицу времени. Как и в реальных моделях, для неё выполнено условие F(0) = 0.

3.3 Математическая формализация задачи

В дальнейшем все функции времени предполагаются, если не оговорено противное, продолженными нулем на интервал (t < 0), а функции от r – на интервал (z < 0). Аргументы функции (или часть их) опускаются при записи, если это не приводит к недоразумению. Запись производной просто штрихом (или точкой) означает, что она взята по всему аргументу функции, а не по какой-либо его составляющей.

Задача, поставленная в предыдущем пункте, требует предварительного анализа, например, на предмет сокращения числа входящих в основные уравнения параметров – то есть, как минимум, приведения их к безразмерному виду. Проводя эту стандартную ( t= tτ, r= rρ, p= pπ, f = f̃φ(τ, ρ, π), F = F̃Φ(τ, ρ, π), E(t, r) = EΕ(τ, ρ), J = JJ(τ, ρ), Sext = Qext/Q) операцию, видим, что между масштабными – взволнованными – коэффициентами должны иметь место стандартные же соотношения, дабы безразмерные уравнения не отличались по своей структуре от своих стартовых размерных аналогов. Таковыми являются: связь скорости и импульса (классическая или релятивистская); r = vt, причем, естественнее всегда брать c – за масштаб скоростей, а из t̃ и r̃ выбирать только одну.

В результате приходим к следующей системе соотношений, приводящих исходную систему к полностью безразмерному виду: один из параметров L = r̃, или T = t̃ является свободным, L = cT, P = p̃ = m0v0. Функции, входящие в систему, имеют своими масштабными коэффициентами следующие величины: Q̃ = 2N/(LTP), f ̃ = 2N/(LP), J̃= – |e|N/T, Ẽ = 4π|e|N,