Дипломная работа: Кинетические уравнения Власова

(1.1)

Цель данной дипломной работы — рассмотреть и проанализировать основные кинетические уравнения Власова, и на их основании рассмотреть модельную одномерную задачу Коши для уравнения Власова.

Глава 1 Кинетические уравнения: основные понятия

1.1 Кинетические уравнения типа Больцмана

Первым изученным кинетическим уравнением было уравнение Больцмана. Оно учитывает процессы столкновений добавлением интеграла столкновений в (1.1):

(1.2)

Интеграл столкновений J[F,F] — это квадратичный оператор, учитывающий парные столкновения частиц. Уравнение (1.2) было получено Максвеллом и Больцманом для вывода максвелловского распределения по скоростям, которое тогда только что было использовано для объяснения закона Менделеева – Клапейрона, который будет кратко рассмотрен далее.

Максвелловское распределение связано с одним из первых успехов уравнения Больцмана (1.2) — доказательством Н - теоремы.

Теорема утверждает, что функционал

для уравнения Больцмана не возрастает: dH/dt <= 0. Этот факт был интерпретирован Больцманом как доказательство возрастания энтропии (Н есть энтропия с обратным знаком), т.е. обоснования 2-го закона термодинамики.

Неравенство Н-теоремы верно не всегда. Условие равенства нулю скорости роста энтропии даст максвелловское распределение, поэтому Н-теорема обосновывает не только стационарность максвелловского распределения, но и стремление к нему, устойчивость этого распределения, а также 2-й закон термодинамики.

Однако уравнение Больцмана писалось Максвеллом для более широких целей. Программа Максвелла состояла в том, чтобы получить уравнения сплошной среды — типа уравнений Навье-Стокса — из уравнения Больцмана и тем самым получить коэффициенты переноса — вязкости и теплопроводности — и их зависимость от межмолекулярного взаимодействия. Ему это удалось для потенциала межмолекулярного взаимодействия U(r) = r -4 (максвелловские молекулы), когда интеграл столкновений сильно упрощается. Достичь аналогичных результатов для других потенциалов не удалось ни Больцману[1] , ни Гильберту. однако это сделали Чэпмсн и Энског[2] с помощью специальной схемы теории возмущений (метод Чэпмсна-Энскога). Ставки здесь были очень высоки; такое решение давало бы (и дало: оно предсказало термодиффузию) количественные предсказания в молекулярно-кинетической теории, которая в то время подвергалась критике (в полемику включились не только ученые, например Мах и Авенариус, но и политики, например В.И. Ленин «Материализм и эмпириокритицизм». Чэпмсн и Энског «немного опоздали»: определение разными независимыми способами числа Авогадро с близкими ответами убедило ученых, и страсти улеглись.

В наше время это уравнение со своими следствиями работает в нескольких направлениях. Одно из них — средние слои атмосферы. Высокие слои хорошо описываются уравнением свободного движения (1.1) — газ Кнудсена или свободный газ. Низкие слои — уравнениями газодинамики, которые выводятся из уравнения Больцмана. Сопряжение хотя бы на ЭВМ верхних и низких слоев атмосферы — одна из актуальных задач[3] в связи с летательными аппаратами. Другое направление — химическая кинетика: моделирование смесей. Со всем этим связаны дискретные модели уравнения Больцмана

Широко используемым следствием уравнения Больцмана является уравнение переноса, описывающее рассеяние частиц на заданном фоне: это линейное уравнение Больцмана. Такие уравнения используются для описания переноса нейтронов в ядерных реакторах и переноса излучения в атмосфере, когда фотоны рассеиваются средой.

Предельным случаем уравнения Больцмана служит уравнение Ландау, когда наибольший вклад вносит сильное рассеянье вперед. Оно используется для описания плазмы.

Используются также квантовые аналоги уравнения Больцмана — уравнения Улинга-Уленбека. Для этих уравнений стационарными распределениями вместо максвелловского оказываются распределения Ферми-Дирака или Бозе-Эйнштейна.

Таким образом, можно представить иерархию уравнений типа Больцмана в виде следующей схемы:

Схема 1

Линии с вопросительными знаками означают, что соответствующие уравнения еще, может быть, не выведены (например, приближение Ландау для уравнения Улинга-Уленбека).

1.2 Уравнения типа Власова

Если уравнения типа Больцмана описывают короткодействующие взаимодействия, то уравнения типа Власова описывают дальнодействие.

Уравнения Власова или уравнения самосогласованного поля имеют вид:

(2.1)

Здесь сила f сама есть функционал от функции распределения, а уравнение (2.1) имеет вид уравнения сдвига вдоль характеристик. Простейший вид зависимости силы f от функции распределения соответствует парному потенциалу взаимодействия К(х, у):

(2.2)

Такой вид взаимодействия дает систему уравнений Власова. Обычно говорят о системах уравнений «Власова плюс ещё кого-то» для того, чтобы различать виды взаимодействий. Бывают уравнения Власова-Пуассона, Власова-Максвелла, Власова-Эйнштейна и Власова--Янга--Миллса.

Уравнение Власова-Пуассона бывает двух видов — для гравитации и для плазмы: в обоих случаях (2.2) заменяется на уравнение Пуассона действием оператора Лапласа, при условии, что К (х, у) — фундаментальное решение оператора Лапласа. Таким образом, К сеть потенциал единичного заряда в трехмерном случае, нити — в одномерном случае и плоскости — в двумерном.