Дипломная работа: Кинетические уравнения Власова

Если в случае плазмы мы заменяем электростатику на электродинамику, то получаем уравнения Власова-Максвелла. Если у нас сохраняется не заряд, а векторная величина (изотопический заряд или цвет), то вместо электромагнитных 4-иотснциалов мы должны взять матрицы, и получаем уравнения Янга-Миллса. Такие уравнения дают принятую в настоящее время теорию объединенного электрослабого и сильного взаимодействия. Таким образом, все уравнения чипа Власова дают следующую иерархию:

Схема 2

Данная иерархия дает нам примеры захватывающих романов между математикой и различными частями естествознания. Отдельные главы этого романа будут описаны в дальнейшем. Будут изучены следующие основные подстановки в уравнение Власова.

Уравнение динамики N тел как следствие уравнения Власова: подстановка в виде суммы дельта-функций. Подстановка в виде интегралов от дельта-функций и лагранжевы координаты. Примеры: осцилляторы и антиосцилляторы, экспоненциальное разбегание, две гамильтоновы структуры. Эйлеро—Лагранжевы координаты и гидродинамическая подстановка, N-слойная и континуум-слойная гидродинамика. Примеры: расширяющаяся Вселенная, перехлесты и границы гидродинамического описания.

Энергетическая подстановка, когда функция распределения зависит только от энергии. В этом случае уравнение (2.1) удовлетворяется, а (2.2) переходит в нелинейное уравнение для потенциала. Это уравнение аналогично уравнениям Бернулли для уравнения Эйлера. И уравнения типа Власова по своей судьбе аналогичны уравнениям Эйлера: их частные случаи стали появляться раньше, чем были написаны сами уравнения Власова. При этом в той же самой энергетической подстановке, выражающей закон сохранения энергии. В приложениях это были плазменный диод (диод Ленгмюра), уравнение Дебая для электролитов и уравнение Лэна-Эмдена в гравитации. В математике такое уравнение еще раньше было изучено в геометрии и называется уравнением Лиувилля. В двумерном случае оно имеет огромную группу симметрии (конформная группа).

Глава 2 Уравнение Власова-Максвелла, Власова-Эйнштейна и Власова-Пуассона

Вторую главу диплома хотелось бы посвятить непосредственно выводу или/и обоснованию системы уравнений Власова-Максвелла. Эта системауравнений выписана А.А. Власовым в работах[4] , и широко используется для описания плазмы. Уравнения Власова—Эйнштейна обосновываются аналогично, и я только коротко остановлюсь на них. Под названием уравнений Власова-Максвелла разные исследователи понимают разные уравнения. Наиболее популярно уравнение с нерелятивистской зависимостью скорости от импульса для функции распределения. Важно связать это уравнение с классическим лагранжианом, чтобы, с одной стороны, надежно иметь «правильное» уравнение, а с другой — понимать характер сделанных приближений. Далее, при выводе уравнения Власова-Максвелла будет приведён кратчайший, видимо, путь, связывая с лагранжианом электромагнетизма. Т.к. процесс вывода уравнения Власова-Максвелла является неоднозначным, то перед этим необходимо представить вспомогательные пункты. В 2.1 будет рассмотрено как обосновываются уравнения для функции распределения частиц, сдвигаемых вдоль траекторий произвольной динамической системы хi = Xi(x). А далее изучается уравнение Эйлера-Лафанжа для случая, когда действие есть длина, а также обосновывается выбор функции распределения в переменных х, р (пространство-импульсы).

2.1 Сдвиг плотности вдоль траекторий динамической системы

Рассмотрим произвольную динамическую систему, т.е. систему нелинейных дифференциальных уравнений в k-мерном пространстве:

хi = Xi(x), i = 1,…,k (1.1)

Пусть мы раскидали частицы с какой-то начальной плотностью f(0, x), а в момент времени t эта плотность есть f(t, x), так что число частиц в области G

Какова эволюция f(t, x)?

Покажем, что соответствующее уравнение имеет вид (по повторяющимся верхним и нижним индексам предполагается суммирование):

(1.2)

Способ 1 . Метод -функций.

Рассмотрим функцию распределения N частиц, сдвигающихся по траекториям этой системы:

где для каждого l функция xi(t) удовлетворяет уравнениям (1.1). Тогда, дифференцируя по времени, получаем

С другой стороны, имеем

Складывая полученные выражения, находим, что уравнения (1.2) для такой функции удовлетворяются. При взятии дивергенции воспользовались формулой

Для произвольной функции f равенство (1.2) получается переходом к пределу при аппроксимации ее суммой -функций (в слабом смысле).

Способ 2 . Баланс частиц.

Скорость роста частиц в области G есть

(1.3)