Дипломная работа: Кинетические уравнения Власова

Перепишем уравнение (1.2) в виде

(1.4)

Если divX = 0, то левая часть (1.4) — это полная производная f(t,x) пo времени.

Вывод. Уравнение для функции распределения частиц, сдвигающихся вдоль траекторий динамической системы (1.1), имеет вид (1.2).

2.2 Уравнения геодезических и эволюция функции распределения на римановом многообразии

Рассмотрим метрику gijdxidxj в пространстве Rn, xRn, gij(x)-n2 функций. Это означает, что длина кривой определяется формулой:

(2.1)

а уравнение геодезических получается из принципа наименьшего действия (принципа наименьшей длины). Если, более обще, действие записывается в виде S = dt, где L—лагранжиан, то уравнения Эйлера-Лагранжа даются варьированием с фиксированными концами траекторий:

Получаем уравнения Эйлсра-Лагранжа:

В случае геодезических L = имеем

(2.2)

Функционал длины инвариантен относительно замены t = для любой гладкой функции , и то же свойство имеют уравнения (2.2).

Этим свойством иногда распоряжаются так, чтобы максимально упростить уравнения. Выберем[5] в качестве параметра длину линии (интервал, собственное время) s : ds =, после деления на ds получим = 1, и уравнения (2.2) превращаются в

(2.3)

Последние совпадают с уравнениями Эйлера-Лагранжа для действия с лагранжианом

Преобразуем их к виду

(2.4)

Здесь gki — матрица, обратная gij а называются символами Кристоффеля.

Запишем уравнения (1.2) для функции распределения f(х, v, s) по пространству и скоростям (с длиной .s вместо времени) для уравнения (2.4), как это показано в предыдущем параграфе:

(2.5)

Последний член в левой части соответствует тому, что система (2.4) имеет дивергенцию, отличную от нуля. Переход к бездивергентному виду можно осуществить двумя способами.

Способ 1 . Переход к переменным координата-импульс и гамильтонов формализм.

Введем стандартным образом импульсы.[6] Если L = (gijxixj)/2 (этот лагранжиан дает те же уравнения движения, что и (2.1)), то импульсы pi = = dL/dxi= gijxj , а гамильтониан Н = pivi — L = (pipgij)/2. Тогда уравнения (2.3) приобретают гамильтонов вид

Упражнение

Показать, что для любой гамильтоновой системы дивергенция равна нулю.