Дипломная работа: Кинетические уравнения Власова

Полагаем и получаем

(4.4)

Система (4.2), (4.4) и есть система уравнений Власова-Максвелла.

Замечание 1. Уравнения (4.4) являются второй парой уравнений Максвелла, а первая следует из равенств что записывается в эквивалентном виде на языке дифференцирования кососимметрических тензоров Первая пара уравнений Максвелла записывается в виде

Замечание 2. При выводе уравнений Власова-Максвелла по схеме Боголюбова мы должны были бы стартовать с гамильтоновых систем с потенциалами Лиенарта-Вихерта (запаздывающие потенциалы). Для слабого релятивизма соответствующий лагранжиан называется лагранжианом Дарвина.

Замечание 3. Можно таким же способом получить уравнения Вла-сова-Янга-Миллса, заменив в четырех потенциалах Au числа на матрицы.

Вывод, Система уравнений Власова-Максвелла получается при варьировании действия электромагнетизма (действия Лоренца) с переходом к функции распределения. Уравнение для функции распределения получается как уравнение сдвига вдоль траекторий движения частиц.

2.5 Схема вывода уравнения Власова-Эйнштейна

Рассмотрим действие для частицы в гравитационном поле и для поля[9] :

(5.1)

Здесь R — кривизна; вариация но метрике производится переписыванием первого слагаемого в эйлеровых координатах:

(5.2)

При этом, как и в предыдущем параграфе, получается уравнение для полей. Варьируя траектории частиц в Sp в (5.1), получаем уравнение для их движения в гравитационном поле. Уравнение для функции распределения (как и в предыдущем параграфе) сеть уравнение сдвига вдоль характеристик.

Вывод. Уравнения Власова-Максвелла и Власова-Эйнштейна получаются единообразным способом варьирования соответствующих лагранжианов электромагнетизма и гравитации.

2.6 Система уравнений Власова-Пуассона для плазмы и электронов

Рассмотрим систему уравнений Власова-Максвелла в потенциалах Аu.. Получаем волновую форму релятивистской системы уравнений Власова-Максвелла при условии дuАu = 0 (лоренцова калибровка)[10] :

(6.1)

Здесь уравнения Максвелла преобразованы по

Если мы перейдем к нерелятивистскому пределу, то va = p/ma. Обычно рассматривают функцию f(t,x,v) распределения по скоростям. Получим систему уравнений Власова-Пуассона:

(6.2)

Как правило п = 1 (электронная задача) или п = 2 (плазма, состоящая из ионов и электронов).

Глава 3 Одномерная модельная задача для уравнения Власова

Рассматривается модельная одномерная задача Коши для уравнения Власова. Уравнение описывает эмиссию с бесконечной плоскости монохроматического потока электронов в самосогласованном электрическом поле. Для гладких начальных данных строится явное выражение для значения электрического поля в форме рядов Бюрмана-Лагранжа. После этого задача определения потока электронов сводится к решению линейного уравнения первого порядка по характеристикам, как в релятивистском, так и в классическом случае. Далее производится суммирование построенных рядов и распространение полученных для решения исходной задачи формул и на негладкие начальные данные (получение обобщённых решений).