(|x| < 1)

следует после приведения справа подобных членов, коэффициенты при х^k , k2, равны нулю, а коэффициент при х равен единице. Отсюда следует тот же результат для F, и поэтому

Отсюда легко получаем, что А_j можно представить в виде

Пользуясь тем, что для каждой матрицы М

(PMP^-1 )^k = PM^k P^-1 (k = 1, 2, …),

нетрудно видеть, что

Отсюда следует, что результат, полученный для канонической матрицы В, переносится на произвольную неособую матрицу В. В самом деле, если J = e^A и B = PJP^-1 , то В = , где = PАP^-1 . естественно, что матрица А не единственна.

Если Ф – произвольная квадратная матрица порядка n из функций, определенная на действительном i-интревале I (элементы матрицы могут быть действительными или комплексными функциями), то Ф называется непрерывной, дифференцируемой ли аналитической на I, если все элементы Ф соответственно непрерывны, дифференцируемы или аналитичны на I. Если Ф на I дифференцируема, то через обозначается произвольная матрица. Заметим, что если матрицы Ф, Ψ дифференцируемы, то

(1.5)

и, вообще говоря, .

Если в точке t производная матрица (t) существует и матрица Ф – неособая, то матрица Ф^-1 в точке t дифференцируема. Это следует из равенства

где , а - алгебраические дополнения элементов . Из равенств (1.5) и Ф Ф^-1 =Е следует, что

(1.6)

Если матрица А на t-интервале Iнепрерывна и Ф удовлетворяет уравнению (t) = А(t)Ф(t), то

(1.7)

а в интегральной форме

(1.8)

1.2 Линейные однородные системы

Пусть А – непрерывная квадратная матрица порядка n, элементами которой служат непрерывные комплексные функции, определенные на t-интервале I. Линейная система

(ЛО)

Называется линейной однородной системой порядка n. Для любого ξ и для τI существует единственное решение φ системы (ЛО) на интервале I, удовлетворяющее условию φ(τ) = ξ. Замечание: если каждый элемент матрицы А измерим на I и

, (*)

где m интегрируема по Лебегу на I, то существует единственное решение φ системы (ЛО), удовлетворяющее условию φ(τ) = ξ. В дальнейшем будем полагать, что для А выполняется по крайней мере условие (*).

Нулевая вектор-функция на I является решением системы (ЛО). Это решение называется тривиальным. Если решение системы (ЛО) равно нулю для некоторого , то в силу теоремы единственности оно равно нулю тождественно на I.

Теорема 2.1. Множество всех решений системы (ЛО) на интервале I образует n-мерное векторное пространство над полем комплексных чисел.

Доказательство. Если φ₁ и φ₂ – решения (ЛО) и с₁ , с₂ – комплексные числа, то с₁ φ₁ + с₂ φ₂ также является решением (ЛО). Это показывает, что решения образуют векторное пространство.