Дипломная работа: Линейные дифференциальные уравнения

Если бы решения φ_i были линейно зависимы, то существовали бы n комплексных чисел , не равных одновременно нулю и таких, что

.

Отсюда следует равенство

противоречащее предположению о том, что векторы ξ_i линейно независимы.

Если φ – некоторое решение (ЛО) на I, такое, что φ(τ)=ξ , то можно найти (единственным образом определенные) постоянные с_i , удовлетворяющие равенству

,

ибо векторы ξ_i образуют базис n-мерного х-пространства. Поэтому функция

есть решение (ЛО), принимающее при t = τ значение ξ, и, следовательно, в силу теоремы единственности

Итак, каждое решение φ есть (единственная) линейная комбинация φ_i и теорема 2.1 полностью доказана.

Всякое множество φ₁ , φ₂ , …, φ_n линейно зависимых решений системы (ЛО) называется базисом или фундаментальным множеством решений системы (ЛО).

Если Ф – матрица, n столбцов которой являются n линейно независимыми решениями (ЛО) на I, то Ф называется фундаментальной матрицей системы (ЛО). Очевидно, Ф удовлетворяет матричному уравнению

. (2.1)

Под матричным дифференциальным уравнением, соответствующим системе (ЛО) на I, подразумевается задача отыскания квадратной матрицы Ф порядка n, столбцы которой являются решениями системы (ЛО) на I. Эта задача обозначается так:

. (2.2)

Матрица Ф называется решением задачи (2.2) на I, и Ф удовлетворяет уравнению (2.1). Из теоремы 2.1. следует, что зная фундаментальную матрицу системы (ЛО), которая является, разумеется, частным решением уравнения (2.2), мы будем знать полную систему решений системы (ЛО).

Теорема 2.2. Для того, чтобы решение-матрица уравнения (2.2) была фундаментальной матрицей, необходимо и достаточно, чтобы det Ф(t) 0 для .

Замечание. Если det Ф(t) 0 для некоторого , то в силу (1.8) det Ф(t) 0 для всех t.

Доказательство теоремы 2.2. Пусть Ф – фундаментальная матрица, столбцами которой являются векторы φ_j , и пусть φ – некоторое нетривиальное решение системы (ЛО). В силу теоремы 2.1 существуют единственным образом определенные постоянные с₁ , с₂ , …, с_n , не равные все нулю и такие, что

или, выражая при помощи матрицы Ф,

где с – вектор-столбец с элементами с₁ , с₂ , …, с_n . Это соотношение при каждом есть система n линейных уравнений с неизвестными с₁ , с₂ , …, с_n , имеющая единственное решение для каждого φ(τ). Поэтому det Ф(τ) 0 и, по сделанному выше замечанию, det Ф(t) 0 для каждого . Заметим, что это доказывает линейную независимость векторов-столбцов фундаментальной матрицы для каждого .

Наоборот, пусть Ф – матрица-решение уравнения (2.2) и пусть det Ф(t) 0 для каждого . Таким образом, векторы-столбцы матрицы Ф линейно независимы для каждого .

Матрица из векторов-столбцов может иметь определитель, тождественно равный нулю на интервале I, даже при линейно независимых векторах.

Например, пусть