,

однако здесь необходимо ограничение .

1.4 Линейные системы с постоянными коэффициентами

Пусть А – постоянная квадратная матрица порядка n и рассмотрим соответствующую однородную систему

. (4.1)

Если n = 1, то (4.1) имеет очевидное решение е^{t А} _, и решение, которое при t = τ равно ξ , имеет вид е^{( t -τ)А} ξ . Оказывается, что решение имеет эту форму и в том случае, когда х, ξ являются векторами произвольной конечной размерности и А – квадратная матрица порядка n.

Теорема 4.1. Фундаментальная матрица Ф системы (4.1) дается формулой

Ф(t) = е^{t А} (|t| < ), (4.2)

и решение φ системы (4.1), удовлетворяющее условию

φ(τ) = ξ (|τ | < , | ξ | < ),

имеет вид

φ(t) = е^{( t -τ)А} ξ (|t| < ). (4.3)

Доказательство. Так как е^{( t -Δ t )А} = е^{t А} е^{Δ t А} , то из определения производной легко получаем, что

Поэтому Ф(t) = е^{t А} есть решение системы (4.1). Так как Ф(0) = Е, то из (1.8) следует, что det Ф(t) = е^{tsp А} . Итак, Ф – фундаментальная матрица. Теперь формула (4.3) очевидна.

Замечание. Заметим, что выражение не обязано быть решением системы , если матрицы А(t) и не коммутируют. Они коммутируют, когда матрица А(t) либо постоянная, либо диагональная.

Интересно исследовать структуру фундаментальной матрицы (4.2). пусть J – каноническая форма матрицы А, указанная в теореме 1.1, и предположим, что Р – неособая постоянная матрица, такая, что АР = PJ.

Тогда

(4.4)

и J имеет вид

(4.5)

где J₀ – диагональная матрица с элементами λ₁ , λ₂ ,…, λ_q и

(i = 1, …, s). (4.6)

Далее,

(4.7)

и легкое вычисление показывает, что

(4.8)

Так как , то . Таким образом,

(4.9)

где - квадратная матрица порядка r_i (n = q + r₁ + … + r_s ). Поэтому, если известна каноническая форма (4.5), (4.6) матрицы А, то фундаментальная матрица е^{t А} системы (4.1) дается в явном виде формулой (4.4), в которой е^tJ может быть вычислена из (4.7), (4.8), (4.9).