Дипломная работа: Некоторые линейные операторы

§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном

пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора

Пусть , – нормированные пространства.

Определение 2 . Оператор А: Е Е₁ называется непрерывным в точке , если какова бы не была последовательность x_n x₀ , А(x_n ) сходится к А(x₀ ). То есть, при p (x_n , x₀ ) 0, p (А(x_n ), А(x₀ )) 0.

Известно и другое (равносильное) определение непрерывности линейного оператора.

Определение 3. Отображение А называется непрерывным в точке x₀ , если какова бы не была окрестность[3] U точки y₀ = А (x₀ ) можно указать окрестность V точки x₀ такую, что А(V) U.

Иначе >0 >0, что как только p (x, x₀ ) < , p (f(x), f(x₀ )) < .

Теорема 1.

Если линейный оператор непрерывен в точке х₀ = 0, то он непрерывен и в любой другой точке этого пространства.

Доказательство. Линейный оператор А непрерывен в точке х₀ =0 тогда и только тогда, когда . Пусть оператор А непрерывен в точке х₀ =0. Возьмем последовательность точек пространства х_n ®х₁ , тогда х_n –х₁ ®0, отсюда А(х_n –х₁ )®А(0)=0, т. е. А(х_n –х₁ )®0.

Так как А – это линейный оператор, то А(х_n –х₁ )®Ах_n –Ах₀ , а тогда

Ах_n -Ах₀ ® 0, или Ах_n ®Ах₀ .

Таким образом, из того, что линейный оператор А непрерывен в точке х₀ =0, следует непрерывность в любой другой точке пространства.

т. д-на.

Пример.

Пусть задано отображение F(y) = y(1) пространства С_{[0, 1]} в R. Проверим, является ли это отображение непрерывным.

Решение.

Пусть y(x) – произвольный элемент пространства С_{[0, 1]} и y_n (x) – произвольная сходящаяся к нему последовательность. Это означает:

p (y_n , y) = |y_n (x)- y(x))| = 0.

Рассмотрим последовательность образов: F(y_n ) = y_n (1).

Расстояние в R определено следующим образом:

p (F(y_n ), F(y)) = |F(y_n ) - F(y))| = | y_n (1) - y(1)| |y_n (x)- y(x))|=p(y_n ,y),

то есть p (F(y_n ), F(y)) 0.

Таким образом, F непрерывно в любой точке пространства С_{[ a , b ]} , то есть непрерывно на всем пространстве.

С понятием непрерывности линейного оператора тесно связано понятие ограниченности.

Определение 4. Линейный оператор А: Е Е₁ называется ограниченным , если можно указать число K>0 такое, что

||Аx|| K||x||. (1)

Теорема 2.

Среди всех констант K, удовлетворяющих (1), имеется наименьшее.

Доказательство:

Пусть множество S – множество всех констант K, удовлетворяющих (1), будучи ограниченным снизу (числом 0), имеет нижнюю грань k. Достаточно показать, что k S.

По свойству нижней грани в S можно указать последовательность (k_n ), сходящуюся к k. Так как k_n S, то выполняется неравенство: |А(x)| k_n ||x||, (xE). Переходя в этом неравенстве к пределу

получаем |А(x)| k||x||, где (xE), (k S).

т. д-на.