Дипломная работа: Некоторые линейные операторы

||F|| = (|y(x)|||) = ||y(x)|||| = || .

Таким образом, норма F(y) = будет ||F|| = ;

2) Найдем норму функционала, определенного на C[0, 2], где p(x)=(x-1)

F(y) = .

По выше доказанному ||F|| = = 1.

§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента

Пусть , – нормированные пространства, – линейный оператор, D_A - область определения оператора, а R_A – область значений.

Определение 6. Оператор А называется обратимым , если для любого элемента у, принадлежащего R_A , уравнение Ах=у имеет единственное решение.

Если оператор А обратим, то каждому элементу у, принадлежащему R_A , можно поставить в соответствие единственный элемент х, принадлежащий D_A и являющийся решением уравнения Ах=у. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным оператором к оператору А и обозначается А^-1 .

Теорема 4.

Для того чтобы линейный оператор имел ограниченный обратный оператор необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:

, (m>0).

Доказательство:

Достаточность.

Пусть выполняется данное неравенство. Тогда равенство Ax=0 возможно лишь тогда, когда x – нулевой вектор. Получим 0 m*||x||, отсюда ||x|| 0, но так как норма не может быть <0, то x=0. А обращается в ноль лишь на нулевом векторе. Итак, А^-1 существует.

Докажем его ограниченность.

y=Ax.

x=A^-1 y, норма ||A^-1 y||=||x||, но ||x|| ||Ax||=||y||.

Отсюда ||A^-1 y|| ||y||, то есть обратный оператор существует и он ограничен.

Если за m возьмем наибольшую из возможных, то получим, что ||A^-1 ||=.

Необходимость.

Пусть от А имеется ограниченный обратный А^-1 на нормированном пространстве.

Итак, ||A^-1 y|| М||y||.

Подставляем значение y и значение A^-1 y,получим ||x|| M||Ax|| (М всегда можно считать положительным числом).

Отсюда ||Ax|| ||x||.

Положим =m, получим ||Ax|| m||x||.

т. д-на.

В теории операторов важную роль играет понятие спектра оператора. Рассмотрим это понятие сначала для конечномерного пространства.

Определение 7. Пусть А – линейный оператор в n-мерном пространстве Еⁿ . Число λ называется собственным значением оператора А, если уравнение Ах=λх имеет ненулевые решения. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора А, а все остальные значения λ – регулярными. Иначе говоря, λ есть регулярная точка, если оператор , где I – единичный оператор, обратим, При этом оператор (А – λI)^-1 , как и всякий оператор в конечномерном пространстве, ограничен. Итак, в конечномерном пространстве существуют две возможности:

1) уравнение Ах=λх имеет ненулевое решение, то есть λ является собственным значением для оператора А; оператор (А – λI)^-1 при этом не существует;

2) существует ограниченный оператор (А – λI)^-1 , то есть λ есть регулярная точка.

В бесконечном пространстве имеется еще и третья возможность, а именно: