Дипломная работа: Некоторые линейные операторы

Норма оператора А: ||A|| = (b-a);

6) Обратимость интегрального оператора и его спектр.

Возьмем пространство S = {f C_{[0, b ]} / f(0) = 0} с нормой ||f|| = |f(x)|.

В пространстве S рассмотрим оператор А:

Аf =

x [0,b], t [0,x];

Найдем оператор обратный к (A - *I), R;

(A - *I)*f = g

- *f(x) = g(x) (1)

Пусть функции f и g дифференцируемы;

Продифференцируем уравнение (1), получим:

f - *f^/ = g^/ (2)

Это уравнение (2) – дифференциальное неоднородное линейное уравнение. Решим это уравнение, используя метод Бернулли.

- f^/ =

- + f^/ = 0 (3)

Представим решение уравнения в виде: f(x) = U(x)*V(x), тогда уравнение (3) примет вид:

- *U*V + U^/ *V + U*V^/ = 0

U^/ *V + U*V^/ - *U*V = -

U^/ *V + U*(V^/ - *V) = - (4)

Решаем однородное линейное уравнение:

V^/ - *V = 0

V^/ = *V

= *V

=

LnV = + c

V = *, пусть = с₁

V = с₁ *

Подставим частное решение однородного уравнения в уравнение (4) при условии, что V^/ -