Дипломная работа: Некоторые линейные операторы
Рассмотрим пространство непрерывных на отрезке
функций, и оператор А, заданный формулой:
Ах(t) = g(t) x(t).
g(t) - функция, непрерывная на [a, b]; a,bR.
Проверим является ли оператора А линейным, то есть, по определению 1, должны выполняться аксиомы аддитивности и однородности.
1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).
A(f+g) = (g(t)+f(t))x(t) = g(t)x(t)+f(t)x(t) = A(f) + A(g).
2) Аксиома однородности: A(k*f) = k*A(f).
A(k*f) = A(k*x(t)) = k*g(t)x(t) = kA(x(t)) = k*A(f).
По средствам арифметических операции над функциями, аксиомы аддитивность и однородность выполняются. Оператор А является линейным по определению.
3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:
p (fn (x), f0 (x)) 0
p (A fn (x), Af0 (x))
0.
Оператор А, действует в пространстве C[ ] , в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:
p (fn (x), f0 (x)) = | fn (x) - f0 (x)|.
Решение:
p (A xn (t), Ax0 (t)) = |Axn (t) - Ax0 (t)| =
|xn (t)g(t) - x0 (t)g(t)|
|g(t)|
|xn (t) - x0 (t)| =
|g(t)|p (xn (t), x0 (t))
0.
Итак, p (A xn (t), Ax0 (t)) 0. Следовательно по определению 2 оператор А является непрерывным, а по теореме 3 он ограничен.
4) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму.
По определению 5: ||A||=|A(f)|.
Решение.
||A||=|A(f)|=
|g(t)x(t)|.
|g(t)x(t)| |g(t)
x(t)| = |g(t)| |
x(t)|
|x(t)| |g(t)|.
||A||=
|x(t)| |g(t)| =
||x(t)|| |g(t)|
|g(t)|.
Норма оператора А: ||A|| = |g(t)|.
5) Обратимость оператора А, его спектр и резольвента.
Возьмем произвольное число и составим оператор
:
(А- l I ) x (t) = (g(t) –l ) х(t).
Чтобы найти обратный оператор, нужно решить уравнение относительно функции
. Это возможно, если
для любого
:
.
Если число не является значение функции g(t), то знаменатель не обращается в 0, и функция
непрерывна на данном отрезке, а, значит, ограничена: существует такое число С, что на всем отрезке
. Отсюда следует, что оператор
является ограниченным.
Если же , то оператор
не существует. Следовательно, спектр оператора состоит из всех l = g(t).
Резольвента оператора имеет вид .
Отметим, что точки спектра ,
, не являются собственными числами. Не существует такой непрерывной функции
, для которой
, или
. Поэтому весь спектр данного оператора является непрерывным.
Вывод:
Оператор A, заданный формулой: Ах(t) = g(t)x(t), где g(t) - функция, непрерывная на [a, b], a,bR: