Дипломная работа: Некоторые линейные операторы

||А|| K, для K, подходящего для (1), то есть |А(x)| ||А||||x||, где

||А|| = xE.

Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь, а именно справедлива следующая теорема.

Теорема 3.

Для того, чтобы линейный оператор А действующий из E_x в E_y был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы оператор А был непрерывен.

Необходимость :

Дано: А – ограничен;

Доказать: А – непрерывен;

Доказательство:

Используя теорему 1 достаточно доказать непрерывность А в нуле.

Дано, что ||Аx|| K||x||.

Докажем, что А непрерывен в нуле, для этого должно выполняться >0, >0 что ||x||< ||Ax|| < .

Выберем так, чтобы K*||x|| < , ||x|| < , (К>0), значит = , тогда если ||x||< , то ||Аx|| K||x|| < K =

Непрерывность в нуле доказана, следовательно доказана непрерывность в точке.

Достаточность :

Дано: А – непрерывен;

Доказать А – ограничен;

Доказательство:

Допустим, что А не ограничен. Это значит, что числу 1 найдется хотя бы один соответственный вектор x₁ такой, что ||A x₁ || > 1|| x₁ ||.

Числу 2 найдется вектор x₂ , что ||A x₂ || > 2|| x₂ || и т.д.

Числу n найдется вектор x_n , что ||A x_n || > n|| x_n ||.

Теперь рассмотрим последовательность векторов y_n = , где

||y_n || = .

Следовательно последовательность y_n 0 при n .

Так как оператор А непрерывен в нуле, то Аy_n 0, однако

||Аy_n || = ||A|| = ||Ax_n || > n|| x_n || = 1, получаем противоречие с Аy_n 0, то есть А – ограничен

Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны.

Примеры.

1) Покажем, что норма функционала[5] F(y) = в C_{[ a , b ]} , где p(x) – непрерывная на [a,b] функция, равна .

По определению 5: ||F|| = |F(x)| = ||.