Дипломная работа: Некоторые линейные операторы
2. непрерывный;
3. ограниченный, с нормой ||A|| = |g(t)|;
4. обратим при , для любого
;
5. спектр оператора состоит из всех l = g(t); спектр данного оператора является непрерывным;
6. резольвента имеет вид .
§5. Оператор интегрирования
Рассмотрим оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций - C[ a , b ] , определенных на отрезке [a,b], заданный следующим образом:
Аf(t) = .
f(t) – функция, непрерывная на [a, b],t [a,x]; x
[a,b]; a,b
R;
Поскольку - интеграл с переменным верхним пределом, есть функция от верхнего предела – F(x), a
x
b; Следовательно можно утверждать, что А – оператор.
Проверим оператор A на линейность. По определению 1:
1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).
A(f+g) = =
+
= A(f) + A(g).
2) Аксиома однородности: A(kf) = kA(f).
A(kf) = = k*
= kA(f).
Исходя из свойств интеграла:
1. интеграл от суммы, есть сумма интегралов;
2. вынесение const за знак интеграла.
Можно сделать вывод: оператор А является линейным.
3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:
p (fn (t), f0 (t)) 0
p (A fn (t), Af0 (t))
0.
Оператор А, действует в пространстве C[ a , b ] , в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:
p (fn (t), f0 (t)) = | fn (t) - f0 (t)|.
Решение:
p (A fn (t), Af0 (t)) = |
-
|.
| -
| = |
|
= p (fn (t), f0 (t))
= p (fn (t), f0 (t)) (x-a)
0
ax
b.
Таким образом p (A fn (t), Af0 (t)) 0. следовательно по определению 2 оператор А непрерывен.
4) Непрерывный оператор является ограниченным (теорема 3):
||
|
|
|
|
|| = 0; |
| = |b-a|.
0 |
|
|b-a|.
5) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму. Найдем норму оператора А (используя определение ||A||=|A(f)|):
||A|| = |A(f)| =
|
|
= (x-a);