Дипломная работа: Некоторые вопросы геометрии Лобачевского на модели Пуанкаре
Докажем обратное. Пусть теперь (O,r) ортогональна S, A и B - точки пересечения S и (O,r).
Проведём в точке А касательные к S и (O,r), которые пройдут через центры окружностей (O,r) и S соответственно.
Отсюда ясно, что S-единственная окружность, ортогональная (O,r) и проходящая через точки A и B.
Так как 
(если допустить, что 
, то 
(S) - прямая, ортогональная (O,r) и не проходящая через точку O, что невозможно), то 
(S) - окружность, ортогональная (O,r) и проходящая через точки A и B. Значит, (S) =S.
Теорема 5. Окружность, проходящая через две инверсные точки, преобразуются при инверсии в себя.
Доказательство. Пусть A'= (A), S - окружность такая, что 
и 
. Пусть B - произвольная точка S и B'=
, тогда
,
т.е. (B) =B', а это значит, что
(S) =S'.
Следствие. Окружность, проходящая через две инверсные точки, ортогональна к окружности инверсии.
Рассмотрим далее две задачи, которые нам потребуются в дальнейшем изложении.
Задача 1. Дана прямая и окружность. Найти инверсию, переводящую прямую в окружность.
Дана прямая l и окружность S с центром в точке С. Проведём (СР)
l, 
.
Примем О за центр инверсии, тогда Р и Р' - инверсные точки, значит
r=
.
Итак,
-
искомая инверсия, переводящая прямую в окружность.
Задача 2. Даны две окружности (
) и (
). Найти инверсию, переводящую одну окружность в другую.
Имеет место
Теорема. Любые две неравные окружности гомотетичны и имеют внутренний и внешний центр гомотетии.
Т.к. инверсные точки, по определению, принадлежат одному лучу с вершиной в центре инверсии, то за центр инверсии выберем внешний центр гомотетии.
Пусть это точка О, тогда радиус инверсии
r=
(см. рисунок).