Дипломная работа: Некоторые вопросы геометрии Лобачевского на модели Пуанкаре

Пусть . Рассмотрим неевклидово движение , такое, что .

Пусть . Если окажется по отношению к неевклидову лучу с в той же полуплоскости, что и d , то , т.к инверсия сохраняет величину углов.

Если же окажется в другой полуплоскости относительно луча с , то рассмотрим инверсию .

Т.к. с - является биссектрисой угла (), то .

Имеем неевклидово движение , такое, что , , откуда .

Вернёмся к проверке аксиом конгруэнтности. . Пусть [AB] [UV ], [CD] [UV ]. Покажем, что .

Т.к. [AB] [UV ], то (ABMN ) = (UVLK ) (1)

Т. к. [CD] [UV ], то (CDPQ ) = (UVLK ) (2)

Из (1) и (2) имеем (ABMN ) = (CDPQ ), откуда

(см. критерий конгруэнтности отрезков на модели Пуанкаре).

. Пусть имеет место ABC и , и ,

. Покажем, что .

Т.к. , то (1)

Т.к. , то (2)

Перемножив (1) и (2), получим , откуда (см. критерий конгруэнтности отрезков на модели Пуанкаре).

. Пусть дан и луч [Aa ) с указанной полуплоскостью. Покажем, что существует единственный луч [Ab ) в указанной полуплоскости, такой, что ; и каждый угол конгруэнтен самому себе.

Пусть - евклидова величина неевклидова угла (u, v ).

В точке А к евклидовой полуокружности а проведём

касательную в евклидовом смысле и построим в указанной полуплоскости угол, конгруэнтный . Получим евклидову прямую .

Построим в точке А к прямой перпендикуляр до пересечения с f в точке О . С центром в точке О , радиусом ОА проведём полуокружность.

Таким образом, получим неевклидов луч Ab .

Т.к. , то (см. критерий конгруэнтности углов на модели Пуанкаре).

Единственность луча b следует из однозначности приведённых построений.

Покажем далее, что . Это следует из равенства евклидовых величин этих углов.

. Пусть и , , , . Покажем, что , .