Дипломная работа: Некоторые вопросы геометрии Лобачевского на модели Пуанкаре

Точкой Лобачевского (Л-точкой) назовём евклидову точку, принадлежащую выбранной полуплоскости без границы f.

Прямыми Лобачевского (Л - прямыми) назовём евклидовы полуокружности (в том числе и „полуокружности бесконечно большого радиуса”, ортогональные f и расположены в выбранной полуплоскости без границы.

Определим далее отношения „лежать между", „лежать на", „быть конгруэнтными" и покажем, что при этом выполняются все аксиомы геометрии Лобачевского.

Будем говорить, что Л - точка лежит на Л - прямой, если евклидова точка лежит на евклидовой полуокружности или евклидовом луче.

Проверим выполнимость аксиом принадлежности.

Пусть даны Л - точки А и В. Покажем, что существует Л - прямая, проходящая через эти Л - точки.

Проведём евклидову отрезку АВ срединный перпендикуляр в евклидовом смысле.

Если то евклидова полуокружность (О, |OA|) - есть

Л - прямая, если то Л - прямой будет евклидов луч.

Из указанных построений следует выполнимость и аксиомы

Каковы бы ни были точки А и В существует не более одной прямой, проходящей через эти две точки.

На каждой прямой лежат по крайне мере две точки. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

Аксиома выполняется на модели, т.к это утверждение справедливо для евклидовой полуокружности и евклидова луча.

Замечание. На следующем рисунке представлена на модели

Теорема. Две прямые имеют не более одной общей точки.

Отношение „лежать между" будем понимать в обычном евклидовом смысле для точек полуокружности и луча.

Аксиомы выполняются на модели, т.к они справедливы для евклидовых точек, евклидовых полуокружностей и лучей.

Проверим выполнимость аксиомы .

Пусть даны Л - точки А, В, С, такие, что; и Л - прямая а такая, что

Пусть, далее , и имеет место ADB. Покажем, что на Л - прямойa существует Л - точка F такая, что имеет место либо BFC, либо AFC.

Доказательство следует из теоремы: две евклидовы окружности пересекаются тогда и только тогда, когда одна из них проходит через внутреннюю точку другой окружности.