Дипломная работа: Парадокси в математичній статистиці

2.10.2 Парадокс

2.10.3 Пояснення парадоксу

2.10.4 Зауваження

2.11 Парадокс перевірки гіпотез

2.11.1 Історія парадоксу

2.11.2 Парадокс

2.11.3 Пояснення парадоксу

Висновки

Список використаних джерел

Приложение

Вступ

Статистика - це фізика чисел

П. Діаконіс

Спочатку статистика була “державною арифметикою". Саме слово “статистика" походить від латинського слова status - держава. З найдавніших часів статистику використовували для того, щоб інформувати володарів держав про величину податку, який можна зібрати з громадян, або про кількість солдат, на яку можна розраховувати у воєнний час. Перший англійський статистичний документ “Книга судного дня", написаний в ХІ віці, також виник у зв’язку з потребами армії і податкообкладання. Статистика стала наукою аж в ХVІІ віці. Її основоположниками є Джон Граунт (1620 - 1674) і сер Вільям Петті (1623 - 1687). В роботі Петті “Політична арифметика” Англія, Голландія і Франція порівнювалися за їх населенням, торгівлею і судноплавством. З розвитком капіталізму статистичними даними стали цікавитися не тільки державні діячі. Поступово розвиваючись, математична статистика перетворилася в самостійну галузь математики. Математична статистика багата на парадокси. Ейрес стверджував, що 50 найбільш часто вживаних слів складають приблизно 50% звичайного тексту, 300 найбільш часто вживаних слів складають 75% тексту, а 1000 найбільш часто вживаних слів складають 90%. Не дивлячись на цей факт, не можна сказати, що коли нам відомі 50 чи 100 слів якоїсь мови, то ми вже наполовину її розуміємо, оскільки знання деяких слів, навіть якщо вони часто вживаються, навряд чи допоможе в розумінні будь-якого тексту. Не дивно, що багато людей вважають, що існує три види неправди: невинний обман, нахабна брехня і статистика.

Розділ І. Основні поняття математичної статистики

Точкові оцінки.

Означення. Випадковий вектор зі значеннями в просторі називатимемо вибіркою (вибірковим вектором ).

Вибірку утворену послідовністю незалежних однаково розподілених випадкових величин , кожна з яких має розподіл , називають вибіркою з розподілу (закону) обсягом .

Множину усіх можливих значень вибірки (вибіркового вектора) будемо називати вибірковим простором (далі вибірковий простір - це або його підмножина).

Ми розглядатимемо вибірки, розподіли (функції розподілу) яких залежать від параметра . Множина можливих значень параметра є підмножиною скінчено-вимірного простору .

Постановка задачі оцінювання параметрів розподілів. Нехай - реалізація вибірки з розподілом . Розподіл залежить від параметра , який набуває значень із множини . Значення параметра невідоме і його необхідно оцінити (визначити) за реалізацією вибірки . У цьому і полягає задача оцінювання параметрів розподілів.

Єдине, що нам відомо для оцінювання невідомого параметра - це реалізація вибірки . Крім реалізації вибірки ми не маємо нічого, що несло б інформацію про значення параметра . Тому "оцінити (визначити) за реалізацією (точно чи хоча б наближено)" означає поставити у відповідність реалізації вибірки значення параметра . Формально це означає, що для оцінювання на вибірковому просторі - множині реалізації вибірок - необхідно визначити (побудувати, задати) функцію зі значеннями в - множині можливих значень параметра - таку, що дорівнює або хоча б наближено дорівнює . Значення ми й будемо використовувати як . Зазначимо, що для кожної реалізації значення , яке використовується як , буде своє; тому як функція є випадковою величиною.

Означення. Борелеву функцію , задану на вибірковому просторі , зі значеннями в - множині можливих значень параметра - будемо називати статистикою , а - борелеву функцію від вибірки - оцінкою.

Будувати статистики , такі щоб тобто статистики, з допомогою яких за можна було б точно визначити , явно не вдасться вже хоча б тому, що є константою, а оцінка як функція вибірки (випадкової величини) є випадковою величиною. Тож подобається нам чи ні, для визначення ми будемо змушені вдовольнятися оцінками , як наближеними значеннями .

Зазначимо, що для одного й того самого параметра можна запропонувати багато оцінок.

Похибки оцінювання параметрів. У зв’язку з постановкою задачі оцінювання параметрів розподілів як задачі знаходження наближених значень параметра треба вміти відповідати на запитання: наскільки великою є похибка при заміні на , інакше кажучи, як далеко можуть відхилятися значення оцінки , обчисленої за вибіркою , відповідної величини ?

Від оцінки , яка пропонується для оцінювання того чи іншого параметра, природно вимагати малого розсіювання її значень, іншими словами концентрації їх у вузькому колі. Як кількісну міру розсіювання значень випадкової величини розглядатимемо (для наочності - одновимірний параметр).

Кількісно міру похибки при заміні на (міру розсіювання відносно ) будемо описувати величиною

Серед усіх оцінок з однією і тією самою дисперсією (мірою розсіювання) мінімальну міру розсіювання відносно мають оцінки, для яких . Останнє випливає з рівностей

Означення. Оцінку будемо називати незміщеною оцінкою параметра , якщо , або, що те саме,